Để chứng minh tứ giác \( AECF \) là hình bình hành, ta sẽ sử dụng định nghĩa về hình bình hành và các tính chất của hình bình hành.

**a) Chứng minh rằng tứ giác \( AECF \) là hình bình hành:**

1. **Xác định tọa độ:**
- Gọi tọa độ của các điểm:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, b) \)
- \( D(0, b) \)

2. **Tìm tọa độ E và F:**
- \( E \) là trung điểm của \( AB \):
\[
E\left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right)
\]
- \( F \) là trung điểm của \( CD \):
\[
F\left(\frac{a+0}{2}, \frac{b+b}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, b\right)
\]

3. **Xét các vectơ:**
- Vectơ \( AE = E - A = \left(\frac{a}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, 0\right) \)
- Vectơ \( CF = F - C = \left(\frac{a}{2} - a, b - b\right) = \left(-\frac{a}{2}, 0\right) \)

Ta thấy rằng \( AE \) và \( CF \) là hai vectơ đối diện về hướng và có cùng độ dài.

4. **Chứng minh rằng \( EC = AF \):**
- Vectơ \( EC = C - E = \left(a - \frac{a}{2}, b - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, b\right) \)
- Vectơ \( AF = F - A = \left(\frac{a}{2} - 0, b - 0\right) = \left(\frac{a}{2}, b\right) \)

Ta thấy rằng \( EC = AF \).

5. **Kết luận:**
- Vì \( AE \parallel CF \) và \( EC \parallel AF \) và có độ dài bằng nhau, nên tứ giác \( AECF \) là hình bình hành.

---

**b) Chứng minh \( AC, BD, EF \) đồng quy:**

1. **Tính chất của hình bình hành cho ta biết** rằng các đường chéo \( AC \) và \( BD \) sẽ cắt nhau tại trung điểm. Do đó, cần chứng minh rằng \( AC \) và \( BD \) đồng quy tại một điểm.

2. **Tìm tọa độ trung điểm:**
- Trung điểm \( M \) của \( AC \) là:
\[
M\left(\frac{0+a}{2}, \frac{0+b}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)
\]
- Trung điểm \( N \) của \( BD \) là:
\[
N\left(\frac{a+0}{2}, \frac{0+b}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right)
\]

Rõ ràng, \( M = N \), do đó \( AC \) và \( BD \) đồng quy.

---

**c) Chứng minh \( AI = IK = KC \):**

1. **Gọi I và K là các giao điểm** của các đoạn thẳng \( DE \) và \( BF \) với \( AC \).
2. **Xét khoảng cách:**
- \( I \) và \( K \) là hai điểm mà \( DE \) và \( BF \) cắt \( AC \).

Do đó, bởi tính chất của các trung điểm trong hình bình hành, ta có \( AI = IK = KC \) vì \( DE \) và \( BF \) chia đoạn thẳng \( AC \) thành ba đoạn bằng nhau.

**Kết luận:** Đã chứng minh xong các yêu cầu trong bài toán.