Để chứng minh bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành

1. **Xét hình bình hành ABCD**:
- Vì là hình bình hành, ta có \(AB \parallel CD\) và \(AD \parallel BC\).
- Có \(AB = CD\) và \(AD = BC\).

2. **Tia phân giác**:
- Gọi \(\alpha\) là góc \(A\) và \(\beta\) là góc \(C\). Tia phân giác của góc \(A\) (là tia \(AM\)) chia góc thành hai phần bằng nhau, tức là \(\angle BAM = \angle CAM\).
- Tương tự, tia phân giác của góc \(C\) (là tia \(CN\)) nghiền góc \(C\) thành hai phần bằng nhau, tức là \(\angle BCN = \angle ACN\).

3. **Chứng minh TN|||AM**:
- Do \(AB \parallel CD\) và \(AM\) cắt \(CD\), theo tính chất tia phân giác tại \(A\), ta có \(\angle AMN = \angle ACN\).

4. **Chứng minh AN|||CM**:
- Tương tự, từ \(DC \parallel AB\) và \(CN\) cắt \(AB\), ta có \(\angle CNM = \angle BAM\).

5. **Kết luận**:
- Ta có:
- \(AM \parallel CN\) và \(AN \parallel CM\)
- Hơn nữa, vì \(AM = CN\) (do chúng là các đoạn phân giác cắt nhau tại điểm M và N và mỗi hình chữ nhật là một hình bình hành), nên tứ giác AMCN là hình bình hành.

### b) Chứng minh \(BM = DN\)

1. **Sử dụng định nghĩa hình bình hành**:
- Từ tứ giác AMCN là hình bình hành, ta có các cạnh đối diện bằng nhau: \(AM = CN\) và \(AN = CM\).

2. **Xét các tam giác**:
- Xét hai tam giác \(ABM\) và \(CDN\):
- Ta có:
- \(AB = CD\) (do ABCD là hình bình hành).
- \(AM = CN\) (điều đã chứng minh trước đó).
- \(\angle BAM = \angle CDN\) (do là góc phân giác).
- Từ đó, theo định lý về hai tam giác bằng nhau, ta suy ra \(BM = DN\).

### Kết luận

Ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu:
- Tứ giác AMCN là hình bình hành.
- Hai đoạn thẳng BM và DN bằng nhau:
\[
BM = DN.
\]