Để tìm giá trị của \( a \) sao cho \( F(x) = -2x^3 - 7x^2 + 12x + a \) chia hết cho \( G(x) = x + 2 \), ta sẽ sử dụng định lý dư.

Định lý dư phát biểu rằng: nếu một đa thức \( F(x) \) chia cho một đa thức bậc 1 \( G(x) = x - r \), thì dư của phép chia là \( F(r) \).

Trong trường hợp này, để \( F(x) \) chia hết cho \( G(x) = x + 2 \), ta cần tính \( F(-2) \) và đưa nó về 0.

Tính \( F(-2) \):

\[
F(-2) = -2(-2)^3 - 7(-2)^2 + 12(-2) + a
\]

Tính từng phần:

1. \(-2(-2)^3 = -2(-8) = 16\)
2. \(-7(-2)^2 = -7(4) = -28\)
3. \(12(-2) = -24\)

Vậy

\[
F(-2) = 16 - 28 - 24 + a = -36 + a
\]

Để \( F(-2) = 0 \), ta giải phương trình:

\[
-36 + a = 0
\]
\[
a = 36
\]

Vậy \( a = 36 \).

### Phần b

Cho \( A(x) \) thỏa mãn:

\[
A(x) = (x-4)(x+2)(x-1)
\]

Có thể phân tích nó ra như sau:

\[
A(x) = (x^2 - 2x - 8)(x - 1)
\]

Giải \( A(x) = 0 \):

- \( x - 4 = 0 \) → \( x = 4 \)
- \( x + 2 = 0 \) → \( x = -2 \)
- \( x - 1 = 0 \) → \( x = 1 \)

Vì vậy, \( A(x) \) có ba nghiệm phân biệt: \( x = 4, -2, 1 \).

Xin lưu ý rằng bằng cách này, \( A(x) \) sẽ luôn có ít nhất 2 nghiệm phân biệt, ở đây là 3 nghiệm.