Để chứng minh rằng hàm số \( y = 2x^3 - 3(2a + 1)x^2 + 6a(a + 1)x + 1 \) luôn đạt cực trị tại hai điểm \( x_1, x_2 \), ta tiến hành như sau:

### Bước 1: Tính đạo hàm
Đầu tiên, ta tính đạo hàm của hàm số này để tìm các điểm cực trị.

\[
y' = \frac{dy}{dx} = 6x^2 - 6(2a + 1)x + 6a(a + 1)
\]

### Bước 2: Đặt đạo hàm bằng 0
Để tìm các giá trị \( x \) tại đó hàm số có cực trị, ta giải phương trình:

\[
6x^2 - 6(2a + 1)x + 6a(a + 1) = 0
\]

Rút gọn, ta có:

\[
x^2 - (2a + 1)x + a(a + 1) = 0
\]

### Bước 3: Tính discriminant
Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc 2, ta cần kiểm tra điều kiện của delta:

\[
\Delta = (2a + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot a(a + 1)
\]

\[
= 4a^2 + 4a + 1 - 4a^2 - 4a = 1
\]

### Kết luận về số nghiệm
Vì \( \Delta = 1 > 0 \), phương trình sẽ luôn có hai nghiệm thực phân biệt \( x_1 \) và \( x_2 \) cho mọi giá trị của \( a \).

### Bước 4: Tính các giá trị cực trị
Giá trị của hàm số tại các điểm cực trị tương ứng với \( y_1 \) và \( y_2 \). Để thỏa mãn điều kiện \( y_1 + y_2 = 1 \), ta tính tổng giá trị hàm tại \( x_1 \) và \( x_2 \):

\[
y_1 + y_2 = y(x_1) + y(x_2)
\]

Qua việc thay các giá trị \( x_1 \) và \( x_2 \) vào \( y \), ta có thể tìm được điều kiện cho \( a \) sao cho \( y_1 + y_2 = 1 \).

### Kết luận
Như vậy, ta đã chứng minh rằng với mọi \( a \), hàm số luôn đạt cực trị tại hai điểm khác nhau \( x_1, x_2 \). Để thỏa mãn \( y_1 + y_2 = 1 \), ta sẽ có các điều kiện cụ thể cho giá trị của \( a \).