Để chứng minh rằng tồn tại ba số nguyên liên tiếp có cùng một số dư khi chia cho 3, chúng ta có thể sử dụng định lý Dirichlet cho các số tự nhiên với lớp là 7.

Đầu tiên, chúng ta sẽ xác định các điều kiện để áp dụng định lý Dirichlet trong trường hợp này. Định lý Dirichlet cho biết rằng nếu chúng ta có hai số nguyên dương \( a \) và \( b \) nguyên tố cùng nhau, thì sẽ có vô hạn số nguyên \( x \) sao cho \( x \equiv a \mod b \).

Trong trường hợp này, chúng ta đặt \( b = 3 \) (số chia cho 3) và \( a_1 = 0, a_2 = 1, a_3 = 2 \) (các số dư khi chia cho 3). Vì 0, 1 và 2 là các số nguyên và ba số này đều được chọn từ lớp 7 (lớp số 7), chúng ta có thể áp dụng định lý Dirichlet như sau:

1. **Lớp số 7**: Tất cả các số có dạng \( 7k + r \) với \( r = 0, 1, 2, ..., 6 \).

2. **Chia cho 3**: Chúng ta xét ba lớp số dư là 0, 1 và 2 khi chia cho 3.

3. Nếu \( n \) là một số nguyên bất kỳ, thì với số nguyên dương \( k \), các số \( 7k, 7k+1, 7k+2, \ldots, 7k+6 \) sẽ cung cấp cho chúng ta các số trong lớp 7.

4. Chia các số này cho 3:
- \( 7k \) sẽ có dư 0 khi chia cho 3 nếu \( k \) đồng dư với 0 hoặc 1 (vì \( 7 \equiv 1 \mod 3 \)).
- Tương tự cho \( 7k + 1 \) và \( 7k + 2 \).

5. Theo định lý Dirichlet, nếu chúng ta lấy các số liên tiếp trong lớp 7 (từ \( 7k, 7k+1, 7k+2, 7k+3, 7k+4, 7k+5, 7k+6 \)), thì sẽ có ba số có cùng một số dư khi chia cho 3. Điều này là do số dư 0, 1, 2 cho đến 6 hoàn toàn rải đều trong lớp số này.

Kết luận: Bằng cách áp dụng định lý Dirichlet, chúng ta đã chứng minh rằng tồn tại ít nhất ba số chia hết cho 3 trong 7 số liên tiếp. Do đó, cần có ba số trong lớp 7 tương ứng với từng cách chia cho 3.