Cho a, b, c > 0; a + b + c = 3. Chứng minh rằng: a^2 + bc/b + ca + b^2 + ca/c + ab + c^2 + ab/a +bc = 3

Để chứng minh bất đẳng thức

\[
\frac{a^2 + bc}{b} + \frac{b^2 + ca}{c} + \frac{c^2 + ab}{a} + bc \geq 3
\]

cho \( a, b, c > 0 \) và \( a + b + c = 3 \), chúng ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Ta xét từng phần trong bất đẳng thức bằng cách biểu diễn lại như sau:

\[
\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} + \frac{bc}{b} + \frac{ca}{c} + \frac{ab}{a}
\]

Khi đó, bất đẳng thức trở thành:

\[
\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} + (c + a + b) \geq 3
\]

Vì \( c + a + b = 3 \), ta có:

\[
\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} + 3 \geq 3 \Rightarrow \frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 0
\]

Chúng ta muốn chứng minh rằng:

\[
\frac{a^2}{b} + \frac{b^2}{c} + \frac{c^2}{a} \geq 0
\]

Điều này tất nhiên là đúng vì \( a, b, c > 0 \). Và ta cũng có:

\[
bc \geq 0, \, ca \geq 0, \, ab \geq 0
\]

Và do đó:

\[
\frac{a^2 + bc}{b} \geq 0, \quad \frac{b^2 + ca}{c} \geq 0, \quad \frac{c^2 + ab}{a} \geq 0
\]

Kết hợp lại, ta có:

\[
\frac{a^2 + bc}{b} + \frac{b^2 + ca}{c} + \frac{c^2 + ab}{a} + 3 \geq 3
\]

Vậy suy ra:

\[
\frac{a^2 + bc}{b} + \frac{b^2 + ca}{c} + \frac{c^2 + ab}{a} + bc \geq 3
\]

Như vậy, với điều kiện \( a + b + c = 3 \) thì bất đẳng thức đã được chứng minh.

Kết luận:

\[
\frac{a^2 + bc}{b} + \frac{b^2 + ca}{c} + \frac{c^2 + ab}{a} + bc \geq 3.
\]