Để chứng minh tam giác AHCK là hình bình hành, ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và các đoạn thẳng vuông góc.

### a. Chứng minh tam giác AHCK là hình bình hành

1. **Khẳng định các cạnh:**
- Trong hình bình hành ABCD, ta có \( AB \parallel CD \) và \( AD \parallel BC \).
- \( AH \perp BD \) tại điểm H, điều này chứng tỏ AH vuông góc với BD.
- \( CK \perp BD \) tại điểm K, nên CK cũng vuông góc với BD.

2. **Xét các góc:**
- Ta có \( \angle AHB = \angle BDC \) (góc đồng vị).
- Tương tự, \( \angle CKB = \angle BDC \) (góc đồng vị).

3. **Cạnh đối diện:**
- Từ các góc đã chứng minh, ta có \( AH = CK \) (vì chúng đều nằm vuông góc với BD và cùng chiều dài từ H đến K).

Nếu \( AH = CK \) và \( \angle AHB = \angle CKB \), ta có:
- Hai cặp cạnh đối diện AH và CK đều bằng nhau, cùng với hai cặp góc đối diện bằng nhau.

Do đó, theo tính chất của hình bình hành, ta suy ra rằng tam giác AHCK là một hình bình hành.

### b. Chứng minh A, O, C thẳng hàng

1. **Xác định điểm O:**
- Gọi O là trung điểm của HK. Vậy ta có \( HO = OK \) (tính chất của trung điểm).

2. **Sử dụng định nghĩa của trung điểm:**
- Xét hình bình hành ABCD, điểm H nằm trên đường chéo BD. Do đó, điểm H được xác định.
- Điểm K cũng nằm trên đường chéo BD, với HK vuông góc và cùng chiều dài từ H đến K (được chứng minh).

3. **Tam giác đẳng giác:**
- Ta có: \( AO = AC \) và \( CO = OA \) (vì chúng có cùng chiều dài và nằm giữa A và C).

4. **Tính chất của điểm O:**
- Vì O là trung điểm của HK, và HK luôn vuông góc với BD, nên A, O, C nằm trên một đường thẳng đi qua H và K.

Vì vậy, A, O, và C thẳng hàng.

Chứng minh hoàn tất!