Chúng ta bắt đầu với phương trình bạn đã cho:

\[
2^x \cdot 2^x + 1 \cdot 2^x + 2 = 32^{22} \cdot 2^x + 1 \cdot 2^x + 2 = 32^{2x}
\]

Trước tiên, chúng ta sẽ đơn giản hóa các thành phần của phương trình.

### Bước 1: Thay thế 32 bằng 2
Chúng ta biết rằng:

\[
32 = 2^5
\]

Do đó, có thể viết \(32^{2x}\) là:

\[
32^{2x} = (2^5)^{2x} = 2^{10x}
\]

### Bước 2: Cập nhật phương trình
Giờ chúng ta có phương trình:

\[
2^{2x} + 2^x + 2 = 2^{10} \cdot 2^x + 2^x + 2
\]

### Bước 3: Đưa tất cả về một bên
Chúng ta sẽ đưa tất cả các thành phần về một bên của phương trình:

\[
2^{2x} + 2^x + 2 - (2^{10} \cdot 2^x + 2^x + 2) = 0
\]

Rút gọn, ta có:

\[
2^{2x} + 2^x + 2 - 2^{10 + 1} - 2 = 0
\]
\[
2^{2x} + 2^x - 2^{11} = 0
\]

### Bước 4: Đặt biến
Gọi \(y = 2^x\). Khi đó, phương trình trở thành:

\[
y^2 + y - 2048 = 0
\]

### Bước 5: Giải phương trình bậc hai
Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai, ta có:

\[
y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Trong trường hợp này, \(a = 1\), \(b = 1\), và \(c = -2048\):

\[
y = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2048)}}{2 \cdot 1}
\]
\[
y = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8192}}{2}
\]
\[
y = \frac{-1 \pm \sqrt{8193}}{2}
\]

### Bước 6: Tìm giá trị của \(y\)
Tính gần đúng:

\(\sqrt{8193} \approx 90.5\) (vì \(90^2 = 8100\) và \(91^2 = 8281\)), ta có:

\[
y \approx \frac{-1 + 90.5}{2} \approx \frac{89.5}{2} \approx 44.75
\]

### Bước 7: Tìm \(x\)
Nhớ rằng \(y = 2^x\), do đó:

\[
2^x \approx 44.75
\]

Lấy logarit cơ số 2:

\[
x \approx \log_2(44.75)
\]

Tính gần đúng:

\(\log_2(44) \approx 5.49\)

Vậy \(x \approx 5.5\)

### Kết luận
Giá trị của \(x\) mà bạn đang tìm là:

\[
x \approx 5.5
\]

Hy vọng rằng cách giải này hữu ích cho bạn!