Để giải bài toán này, chúng ta bắt đầu bằng cách phân tích hình lập phương lớn kích thước \(6 \times 6 \times 6\) được hình thành từ \(6^3 = 216\) hình lập phương nhỏ kích thước \(1 \times 1 \times 1\).

### 1. Hình lập phương nhỏ được sơn 3 mặt:
Hình lập phương nhỏ sẽ được sơn 3 mặt nếu nó nằm ở các đỉnh của hình lập phương lớn. Với hình lập phương lớn có 8 đỉnh, nên có \(8\) hình lập phương nhỏ được sơn 3 mặt.

### 2. Hình lập phương nhỏ được sơn 2 mặt:
Hình lập phương nhỏ sẽ được sơn 2 mặt nếu nó nằm ở các cạnh của hình lập phương, nhưng không phải ở các đỉnh. Mỗi cạnh của hình lập phương lớn có \(4\) hình lập phương nhỏ (do chiều dài mỗi cạnh là 6), trong đó 2 hình lập phương nhỏ ở hai đầu này sẽ được đếm là các hình lập phương nhỏ được sơn 2 mặt.

- Trong hình lập phương lớn có \(12\) cạnh.
- Mỗi cạnh có \(4\) hình lập phương nhỏ mà 2 trong số đó được sơn 2 mặt.

Số hình lập phương nhỏ được sơn 2 mặt là:
\[
12 \text{ cạnh} \times 2 = 24.
\]

### 3. Hình lập phương nhỏ được sơn 1 mặt:
Hình lập phương nhỏ nằm ở mặt của hình lập phương lớn nhưng không nằm ở cạnh hay đỉnh sẽ được sơn 1 mặt. Mỗi mặt của hình lập phương lớn có kích thước \(6 \times 6\) và chứa \(36\) hình lập phương nhỏ.

- Trong mỗi mặt, chúng ta sẽ loại trừ các hình lập phương nhỏ ở các cạnh:
- Số hình lập phương nhỏ nằm trên các cạnh của mỗi mặt là \(12\) (2 hình ở mỗi cạnh).
- Hình lập phương lớn có \(4\) cạnh được tính cho một mặt, và do sự chồng chất, chúng ta sẽ không tính vào cho lần đầu.

Do đó, số hình lập phương nhỏ không ở cạnh là:
\[
(6 - 2)(6 - 2) = 4 \times 4 = 16.
\]
Số hình lập phương nhỏ được sơn 1 mặt trên 6 mặt là:
\[
6 \text{ mặt} \times 16 = 96.
\]

### 4. Hình lập phương nhỏ không được sơn:
Tổng số hình lập phương nhỏ là \(216\), do đó số hình lập phương nhỏ không được sơn là:
\[
216 - (8 + 24 + 96) = 216 - 128 = 88.
\]

### Tóm tắt kết quả:
- Hình lập phương nhỏ sơn 3 mặt: \(8\).
- Hình lập phương nhỏ sơn 2 mặt: \(24\).
- Hình lập phương nhỏ sơn 1 mặt: \(96\).
- Hình lập phương nhỏ không được sơn: \(88\).

Đó là kết quả cuối cùng.