Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các kiến thức về góc trong tam giác và góc đối đỉnh.

### a) Tính góc \( KOB \) và \( AOI \):

1. **Tính góc \( KOB \)**:
- Mối quan hệ giữa các góc:
\[
KOB + KOA + AOB = 180^\circ
\]
- Biết rằng \( KOA = 120^\circ \) và \( BOI = 45^\circ \) (góc này nằm trong tam giác \( AOB \)):
- Do đó, \( AOB = 180^\circ - 120^\circ - 45^\circ = 15^\circ \).
- Ta có:
\[
KOB = AOB = 15^\circ
\]

2. **Tính góc \( AOI \)**:
- Tia \( OI \) cắt đoạn thẳng \( AB \) tại \( I \). Do đó:
\[
AOB + AOI + BOI = 180^\circ
\]
- Ta đã tìm được \( AOB = 15^\circ \) và \( BOI = 45^\circ \):
\[
15^\circ + AOI + 45^\circ = 180^\circ
\]
- Vậy \( AOI = 180^\circ - 15^\circ - 45^\circ = 120^\circ \).

### b) Tính góc \( BOA \):

- Trong tam giác \( AOB \):
\[
BOA = 180^\circ - KOA - KOB = 180^\circ - 120^\circ - 15^\circ = 45^\circ.
\]

Tóm lại:
- \( KOB = 15^\circ \)
- \( AOI = 120^\circ \)
- \( BOA = 45^\circ \)