Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của các hàm số đã cho, ta sẽ phân tích từng hàm một.

### 1. Hàm \( f(x) = \frac{4}{2 - \sin x} \)

* **Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất**:
- Tối thiểu của \(\sin x\) là -1, do đó:
\[
2 - \sin x \text{ đạt tối đa khi } \sin x = -1 \Rightarrow 2 - (-1) = 3 \quad \Rightarrow f_{\max} = \frac{4}{3}
\]
- Tối đa của \(\sin x\) là 1, do đó:
\[
2 - \sin x \text{ đạt tối thiểu khi } \sin x = 1 \Rightarrow 2 - 1 = 1 \quad \Rightarrow f_{\min} = 4
\]

### 2. Hàm \( g(x) = \frac{8}{3 - \cos^2 x} \)

* **Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất**:
- Tối thiểu của \(\cos^2 x\) là 0, do đó:
\[
3 - \cos^2 x \text{ đạt tối đa khi } \cos^2 x = 0 \Rightarrow 3 - 0 = 3 \quad \Rightarrow g_{\max} = \frac{8}{3}
\]
- Tối đa của \(\cos^2 x\) là 1, do đó:
\[
3 - \cos^2 x \text{ đạt tối thiểu khi } \cos^2 x = 1 \Rightarrow 3 - 1 = 2 \quad \Rightarrow g_{\min} = 4
\]

### 3. Hàm \( h(x) = \frac{3}{3 - \sqrt{1 - \cos x}} \)

* **Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất**:
- \(\sqrt{1 - \cos x}\) có giá trị từ 0 (khi \(\cos x = 1\)) đến 1 (khi \(\cos x = -1\)).
- Tối thiểu của biểu thức:
\[
3 - \sqrt{1 - \cos x} \text{ đạt tối đa khi } \sqrt{1 - \cos x = 0} \Rightarrow 3 - 0 = 3 \quad \Rightarrow h_{\max} = 1
\]
- Tối đa của biểu thức:
\[
3 - \sqrt{1 - \cos x} \text{ đạt tối thiểu khi } \sqrt{1 - \cos x = 1} \Rightarrow 3 - 1 = 2 \quad \Rightarrow h_{\min} = \frac{3}{2}
\]

### 4. Hàm \( i(x) = \sin x + \sin \left( x + \frac{2\pi}{3} \right) \)

* **Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất**:
- Sử dụng công thức tổng:
\[
\sin \left( x + \frac{2\pi}{3} \right) = -\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x
\]
- Vậy \( i(x) = \sin x - \frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x \) có thể viết thành:
\[
\frac{1}{2} \sin x + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos x
\]
- Giá trị này có dạng \( A \sin \left( x + \phi \right) \), với \( A = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2} = 1 \).
- Do đó giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất là -1.

### 5. Hàm \( j(x) = \cos x + \cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) \)

* **Tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất**:
- Sử dụng công thức tổng:
\[
\cos \left( x + \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x
\]
- Tận dụng kết hợp:
\[
j(x) = \cos x + \left( \frac{1}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x \right) = \frac{3}{2} \cos x - \frac{\sqrt{3}}{2} \sin x
\]
- Biểu thức có dạng \( A \sin \left( x + \phi \right) \) với \( A = 1 \).
- Do đó giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất là -1.

### Kết luận

- Hàm \( f(x) \) có \( \max = 4 \), \( \min = \frac{4}{3} \)
- Hàm \( g(x) \) có \( \max = \frac{8}{3} \), \( \min = 4 \)
- Hàm \( h(x) \) có \( \max = 1 \), \( \min = \frac{3}{2} \)
- Hàm \( i(x) \) có \( \max = 1 \), \( \min = -1 \)
- Hàm \( j(x) \) có \( \max = 1 \), \( \min = -1 \)