Giả sử tam giác \(ABC\) có các điểm \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của cạnh \(AB\), \(BC\), và \(AC\). Ta sẽ chứng minh rằng tứ giác \(IJKQ\) là hình bình hành, với \(I\), \(J\), \(K\) là trung điểm của các đoạn thẳng \(NP\), \(BP\), và \(NC\).

**Bước 1: Tính toán tọa độ các điểm**

Giả sử tọa độ các điểm là:
- \(A(x_1, y_1)\)
- \(B(x_2, y_2)\)
- \(C(x_3, y_3)\)

Tọa độ các điểm trung điểm như sau:
- \(N\left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)\)
- \(P\left(\frac{x_2+x_3}{2}, \frac{y_2+y_3}{2}\right)\)
- \(Q\left(\frac{x_1+x_3}{2}, \frac{y_1+y_3}{2}\right)\)

**Bước 2: Tính tọa độ các điểm I, J, K**

1. **Điểm \(I\)** (trung điểm \(NP\)):
\[
I\left(\frac{\frac{x_1+x_2}{2} + \frac{x_2+x_3}{2}}{2}, \frac{\frac{y_1+y_2}{2} + \frac{y_2+y_3}{2}}{2}\right) = I\left(\frac{x_1 + 2x_2 + x_3}{4}, \frac{y_1 + 2y_2 + y_3}{4}\right)
\]

2. **Điểm \(J\)** (trung điểm \(BP\)):
\[
J\left(\frac{x_2 + \frac{x_2+x_3}{2}}{2}, \frac{y_2 + \frac{y_2+y_3}{2}}{2}\right) = J\left(\frac{3x_2 + x_3}{4}, \frac{3y_2 + y_3}{4}\right)
\]

3. **Điểm \(K\)** (trung điểm \(NC\)):
\[
K\left(\frac{\frac{x_1+x_2}{2} + x_3}{2}, \frac{\frac{y_1+y_2}{2} + y_3}{2}\right) = K\left(\frac{x_1 + x_2 + 2x_3}{4}, \frac{y_1 + y_2 + 2y_3}{4}\right)
\]

**Bước 3: Chứng minh tứ giác \(IJKQ\) là hình bình hành**

Để chứng minh \(IJKQ\) là hình bình hành, ta cần chỉ ra rằng các cạnh đối diện \(IJ\) và \(KQ\) song song và bằng nhau.

Tính vector \(IJ\):
\[
IJ = J - I = \left(\frac{3x_2+x_3}{4} - \frac{x_1 + 2x_2 + x_3}{4}, \frac{3y_2+y_3}{4} - \frac{y_1 + 2y_2 + y_3}{4}\right)
= \left(\frac{-x_1 + x_2}{4}, \frac{-y_1 + y_2}{4}\right)
\]

Tính vector \(KQ\):
\[
KQ = Q - K = \left(\frac{x_1+x_3}{2} - \frac{x_1 + x_2 + 2x_3}{4}, \frac{y_1+y_3}{2} - \frac{y_1 + y_2 + 2y_3}{4}\right)
= \left(\frac{2x_1 + 2x_3 - x_1 - x_2 - 2x_3}{4}, \frac{2y_1 + 2y_3 - y_1 - y_2 - 2y_3}{4}\right)
= \left(\frac{x_1 - x_2}{4}, \frac{y_1 - y_2}{4}\right)
\]

Suy ra:
\[
IJ = -KQ
\]

Thực tế cho thấy \(IJ \parallel KQ\) và \(IJ = KQ\).

Tương tự, ta có thể chứng minh rằng các cạnh còn lại \(JK\) và \(IQ\) cũng song song và bằng nhau, do vậy tứ giác \(IJKQ\) thỏa mãn điều kiện là một hình bình hành.

**Kết luận:** Tứ giác \(IJKQ\) là hình bình hành.