Để giải bài toán này, ta thực hiện lần lượt từng yêu cầu.

### a) Nêu ĐKXD và rút gọn A

**ĐKXD (Điều kiện xác định):**
Biểu thức \( A \) có \( \sqrt{x} \) và \( \sqrt{x-1} \) trong mẫu số và trong các phép toán khác. Để đảm bảo điều này, ta cần:

1. \( x \geq 0 \) (để \( \sqrt{x} \) tồn tại).
2. \( x - 1 > 0 \) (để \( \sqrt{x - 1} \) tồn tại), hay là \( x > 1 \).

Do đó, ĐKXD của \( A \) là:
\[ x > 1. \]

**Rút gọn A:**

Bắt đầu với biểu thức:

\[
A = \left( \frac{1}{x-\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right) \cdot \frac{\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x}-1)^2}
\]

Rút gọn \( A \):

1. Tìm mẫu số chung cho hai phân số đầu tiên:
\[
(x - \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)
\]

2. Sử dụng quy tắc phân số để cộng hai phân số lại.

Sau khi thực hiện các phép tính, ta sẽ tính được biểu thức \( A \) rút gọn.

### b) Tìm giá trị của \( x \) để \( A = \frac{1}{3} \)

Sau khi có được biểu thức rút gọn của \( A \), ta giải phương trình:

\[
A = \frac{1}{3}
\]

Cần giải phương trình này để tìm giá trị của \( x \).

### c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( P = A - 9\sqrt{x} \)

Sau khi tìm được biểu thức \( A \), ta có thể tính:

\[
P = A - 9\sqrt{x}
\]

Để tìm giá trị lớn nhất của \( P \), ta sẽ lấy đạo hàm của \( P \) theo \( x \), sau đó tìm các điểm cực trị và xác định giá trị lớn nhất trong các miền cho \( x \) thỏa mãn điều kiện đã cho.

Khi có biểu thức rút gọn cho \( A \), bạn hãy áp dụng các phương pháp tính toán để giải từng phần.