Để giải và biến luận phương trình bậc 2 một ẩn:

\[
(m-1)x^2 - 2mx + (m + 2) = 0
\]

Trước hết, ta nhận biết rằng đây là phương trình bậc 2 có dạng:

\[
Ax^2 + Bx + C = 0
\]

với:
- \( A = m - 1 \)
- \( B = -2m \)
- \( C = m + 2 \)

### 1. Điều kiện tồn tại nghiệm:

Để phương trình có nghiệm, hệ số \( A \) phải khác 0, tức là:

\[
m - 1 \neq 0 \quad \Rightarrow \quad m \neq 1
\]

### 2. Tính delta (\( \Delta \)):

\[
\Delta = B^2 - 4AC = (-2m)^2 - 4(m - 1)(m + 2)
\]
\[
= 4m^2 - 4[(m - 1)(m + 2)] = 4m^2 - 4(m^2 + 2m - m - 2)
\]
\[
= 4m^2 - 4(m^2 + m - 2) = 4m^2 - 4m^2 - 4m + 8
\]
\[
= 8 - 4m
\]

### 3. Phân tích delta:

- **Nếu \(\Delta > 0\)**: Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
\[
8 - 4m > 0 \quad \Rightarrow \quad 4m < 8 \quad \Rightarrow \quad m < 2
\]

- **Nếu \(\Delta = 0\)**: Phương trình có 1 nghiệm kép.
\[
8 - 4m = 0 \quad \Rightarrow \quad m = 2
\]

- **Nếu \(\Delta < 0\)**: Phương trình không có nghiệm.
\[
8 - 4m < 0 \quad \Rightarrow \quad 4m > 8 \quad \Rightarrow \quad m > 2
\]

### 4. Kết luận:

- Khi \( m < 2 \): Phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
- Khi \( m = 2 \): Phương trình có 1 nghiệm kép.
- Khi \( m > 2 \): Phương trình không có nghiệm.

### 5. Công thức nghiệm:

Nghiệm của phương trình bậc 2 được tính bằng công thức:
\[
x_{1,2} = \frac{-B \pm \sqrt{\Delta}}{2A}
\]
Với \( A = m - 1 \), \( B = -2m \), và \(\Delta = 8 - 4m\).

Trên đây là cách giải và biến luận phương trình bậc 2 một ẩn.