Chúng ta sẽ chứng minh từng phần trong bài toán về tam giác cân ABC và các tính chất liên quan đến các đường cao BH, CK.

### a) Chứng minh tam giác ABC cân

Giả sử tam giác ABC có AB = AC (theo giả thiết tam giác này cân tại A). Do BH, CK đều là đường cao từ các đỉnh B và C đến cạnh đáy AC và AB, chúng ta có:

- \( BH \perp AC \)
- \( CK \perp AB \)

Ta có:
- \( AH = AH \) (điểm chung)
- \( BH = CK \) (do cùng là đường cao từ cùng một điểm B và C đến cạnh tương ứng)

Từ hai cặp cạnh này trong ba tam giác: AHB và AHC, chúng ta có:

- \( AB = AC \)
- \( AH = AH \) (cạnh chung)
- \( BH = CK \)

Áp dụng tiêu chí đồng dạng tam giác (cạnh - cạnh - cạnh), ta có:

\[
\triangle AHB \cong \triangle AHC
\]

Từ đó suy ra \( HB = HC \) và \( \angle AHB = \angle AHC \).

Do đó, chúng ta có:
\[
\angle ABC = \angle ACB
\]

Vậy tam giác ABC cân tại A.

### b) Chứng minh BKHC là hình thang cân

Để chứng minh BKHC là hình thang cân, chúng ta sẽ chứng minh các cặp cạnh đối diện BK và HC bằng nhau.

Từ các chứng minh trên, ta biết:

- \( BH \) là đường cao nên \( \angle HBC = \angle HCB = 90^\circ \)
- \( CK \) cũng là đường cao với \( \angle KAC = \angle KAB = 90^\circ \)

Mặt khác, từ tam giác cân \( ABC \), chúng ta có \( AB = AC \). Suy ra:

- \( BK = HC \) (cạnh đối diện)

Do đó, BKHC là hình thang cân.

### c) Gọi BH cắt CK tại I. Chứng minh IH = IK

Vì \( BKHC \) là hình thang cân, và chúng ta đã biết rằng B và C là hai đỉnh của tam giác cân, do đó điểm I là trung điểm của HK.

- \( IH \) và \( IK \) là hai đoạn thẳng nối từ I đến H và K.

Vì HK là cạnh của hình thang BKHC, nơi BK và HC là hai cạnh song song và độ dài bằng nhau. Ta có:

\[
IH = IK
\]

### d) Chứng minh IB = IC

Từ chứng minh trước, ta biết rằng:

\[
I \text{ là trung điểm của HK}
\]

Và \( BH = CK \), nên \( IB = IC \) (hai đoạn IB và IC cũng bằng nhau do tam giác ABC cân và các điểm đều ở trên cùng một hướng của tâm giác).

### e) Chứng minh AI là trung trực của HK

Bởi vì I là trung điểm của HK và AI là đường vuông góc với HK (do BH và CK đều là đường cao), nên:

\[
AI \perp HK
\]

Kết hợp cùng với việc I là trung điểm của HK, vậy AI là trung trực của HK.

Như vậy, đã chứng minh được tất cả các phần: tam giác ABC là cân, BKHC là hình thang cân, IH = IK, IB = IC và cuối cùng AI là trung trực của HK.