Để giải bài toán này, ta thực hiện các phần a), b) và c) như sau:

**a)** Chứng minh \(\triangle ADB \cong \triangle EDB\).

**Chứng minh:**
- Ta có \(AB = BE\) (giả thiết).
- Cả hai tam giác \(\triangle ADB\) và \(\triangle EDB\) đều có góc \(ADB\) chung.
- Đường thằng \(ED\) vuông góc với \(BC\) nên \(\angle ADB = \angle EDB = 90^\circ\).

Dùng tiêu chuẩn cạnh - góc - cạnh (c.g.c):
\[
\triangle ADB \cong \triangle EDB
\]

**b)** So sánh \(AD\) và \(DC\).

- Từ tam giác vuông \(\triangle ADB\), sử dụng định lý Pitago, có \(AD^2 + AB^2 = DB^2\).
- Tương tự, từ tam giác vuông \(\triangle EDB\), ta có \(ED^2 + BE^2 = DB^2\).
- Vì \(AB = BE\) nên có \(AD^2 + AB^2 = ED^2 + AB^2 \Rightarrow AD^2 = ED^2\).
- Do đó, \(AD = ED\).

Với \(AC\) là đoạn thẳng lớn hơn \(AB\) và nhìn từ điểm \(D\) kéo dài đến điểm \(C\), suy ra \(AD < DC\).

**c)** Kéo dài \(ED\) cắt tia \(BA\) tại \(F\). Gọi \(I\) là trung điểm của \(CF\). Chứng minh ba điểm \(B\), \(D\), \(I\) thẳng hàng.

- Từ \(AD = ED\), ta có điểm \(D\) nằm giữa \(A\) và \(E\) nên đường thẳng \(ED\) sẽ kéo dài cắt đoạn thẳng \(BA\) tại điểm \(F\).
- Trung điểm \(I\) của \(CF\) có nghĩa là \(CI = IF\).

Từ đó, ta có:
- Các đoạn thẳng \(BD\) và \(DI\) cùng nằm trên đường thẳng \(CF\). Suy ra ba điểm \(B\), \(D\), \(I\) thẳng hàng.

Vậy ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán.