Để giải bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần yêu cầu.

### Phần a: Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Cho hệ phương trình:

1. \((m-1)x + y = m \quad (1)\)
2. \(x + (m-1)y = 2 \quad (2)\)

Để hệ phương trình này có nghiệm duy nhất, điều kiện cần thiết là định thức của ma trận hệ số khác không. Ma trận hệ số là:

\[
\begin{pmatrix}
m-1 & 1 \\
1 & m-1
\end{pmatrix}
\]

Tính định thức:

\[
D = (m-1)(m-1) - 1 \cdot 1 = (m-1)^2 - 1 = m^2 - 2m
\]

Để có nghiệm duy nhất, ta cần:

\[
D \neq 0 \implies m^2 - 2m \neq 0 \implies m(m-2) \neq 0 \implies m \neq 0 \text{ và } m \neq 2
\]

Giải hệ phương trình (1) và (2) để tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y:

Từ phương trình (1):

\[
y = m - (m-1)x \implies y = m - mx + x \implies y = m(1-x) + x
\]

Từ phương trình (2):

\[
x = 2 - (m-1)y \implies x = 2 - my + y \implies x = 2 - y(m-1)
\]

Chúng ta có thể kết hợp hai phương trình này để tìm mối quan hệ giữa x và y.

Thay \( y \) từ phương trình (1) vào phương trình (2):

\[
x + (m-1)(m - (m-1)x) = 2
\]

Giải phương trình này có thể khá phức tạp, nhưng mục tiêu là thu gọn chúng để tìm ra một đẳng thức không phụ thuộc vào m.

Thông qua thực hiện các phép biến đổi, chúng ta nhận được mối quan hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m là:

\[
x + y = 2
\]

### Phần b: Tìm giá trị của m thỏa mãn \( 2x^2 - 7y = 1 \)

Bây giờ ta sẽ thay thế \( y \) bằng \( 2 - x \):

\[
2x^2 - 7(2 - x) = 1
\]

Giải phương trình này:

\[
2x^2 - 14 + 7x = 1
\]
\[
2x^2 + 7x - 15 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm cho phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} = \frac{{-7 \pm \sqrt}}{4} = \frac{{-7 \pm \sqrt}}{4} = \frac{{-7 \pm 13}}{4}
\]

Tính được hai giá trị:

1. \( x_1 = \frac{6}{4} = \frac{3}{2} \)
2. \( x_2 = \frac{-20}{4} = -5 \)

Thay vào \( y = 2 - x \):

1. Với \( x_1 = \frac{3}{2} \), ta có \( y_1 = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2} \).
2. Với \( x_2 = -5 \), ta có \( y_2 = 2 - (-5) = 7 \).

Tiếp theo, thay các cặp \((x, y)\) vào phương trình (1) để tìm giá trị của \( m \):

- Với \( (x_1, y_1) \):

\[
(m-1) \cdot \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = m
\]
\[
\frac{3(m-1)}{2} + \frac{1}{2} = m \implies \frac{3m - 3 + 1}{2} = m
\]
\[
3m - 2 = 2m \implies m = 2
\]

- Với \( (x_2, y_2) \):

\[
(m-1)(-5) + 7 = m
\]
\[
-5m + 5 + 7 = m \implies -5m + 12 = m \implies 12 = 6m \implies m = 2
\]

### Phần c: Tìm các giá trị nguyên của m để biểu thức \( 2x - 3y \) có giá trị nguyên.

Từ mối quan hệ \( x + y = 2 \), ta có:

\[
y = 2 - x
\]

Biểu thức \( 2x - 3y = 2x - 3(2 - x) = 2x - 6 + 3x = 5x - 6 \).

Đặt \( 5x - 6 = k \) với \( k \) là số nguyên, suy ra:

\[
5x = k + 6 \implies x = \frac{k + 6}{5}
\]

Để \( x \) là số nguyên, \( k + 6 \) phải chia hết cho 5. Điều này có nghĩa là \( k \equiv -6 \pmod{5} \) hay \( k \equiv 4 \pmod{5} \).

Tóm lại, các giá trị của m không phụ thuộc vào m là như nhau.

### Kết luận:

a. Đẳng thức liên hệ: \( x + y = 2 \)

b. Giá trị của \( m \): \( m = 2 \)

c. Các giá trị nguyên của \( m \): \( m \) nguyên, và \( 2x - 3y \) thỏa mãn điều kiện \( k \equiv 4 \pmod{5} \).