Để chứng minh rằng biểu thức

\[
\frac{x^2 + 3x + 5}{2} > 0 \quad \text{với mọi giá trị của } x,
\]

ta sẽ phân tích đáy số liệu trong tử số \( x^2 + 3x + 5 \).

### Bước 1: Xét biểu thức bậc 2

Biểu thức \( x^2 + 3x + 5 \) là một biểu thức bậc 2 có dạng tổng quát:

\[
ax^2 + bx + c,
\]

với \( a = 1\), \( b = 3\), và \( c = 5\).

### Bước 2: Tính delta

Để xác định tính chất của biểu thức này, ta tính delta (Δ):

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 9 - 20 = -11.
\]

### Bước 3: Phân tích kết quả

- Vì \( \Delta < 0 \), nên phương trình bậc 2 này không có nghiệm thực và do đó parabol của nó nằm hoàn toàn ở trên trục hoành.
- Vậy \( x^2 + 3x + 5 > 0 \) với mọi giá trị của \( x \).

### Bước 4: Kết luận

Chia cả hai bên của bất phương trình cho 2 (trong đó 2 > 0, không thay đổi chiều bất phương trình):

\[
\frac{x^2 + 3x + 5}{2} > 0.
\]

Do đó, ta có

\[
\frac{x^2 + 3x + 5}{2} > 0 \quad \text{với mọi giá trị của } x.
\]

### Kết quả

Biểu thức đã được chứng minh là dương với mọi giá trị của \( x \).