Tính tổng các nghiệm của phương trình:

Để giải phương trình \( \cos(2x) \cos(x) = 1 + \sin^2(x) \sin(x) \), ta sẽ biến đổi và tách các thành phần.

### Bước 1: Biến đổi phương trình
Ta biết rằng \( \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \). Thay vào phương trình ta có:
\[
(2\cos^2(x) - 1) \cos(x) = 1 + \sin^2(x) \sin(x)
\]

### Bước 2: Sử dụng các đồng nhất thức
Xét bên phải:
\[
1 + \sin^2(x) \sin(x) = 1 + (1 - \cos^2(x)) \sin(x) = 1 + \sin(x) - \sin(x) \cos^2(x)
\]

Bây giờ ta có phương trình:
\[
(2\cos^2(x) - 1) \cos(x) = 1 + \sin(x) - \sin(x) \cos^2(x)
\]

### Bước 3: Phân tích
Giải phương trình này có thể trở nên phức tạp, chúng ta sẽ thử một phương pháp đơn giản hơn bằng cách thử các giá trị cụ thể hoặc kiểm tra khoảng nghiệm.

### Bước 4: Tìm nghiệm
Thay các giá trị của \( x \) vào phương trình để tìm các nghiệm trong khoảng \( [-\pi, 4\pi] \).

##### Tìm nghiệm bằng phương pháp biển đổi
Chúng ta dự đoán sự đồng nhất có thể xảy ra tại các điểm đặc biệt:
- \( x = 0 \):
\[
\cos(0) = 1, \quad \sin(0) = 0 \Rightarrow 1 = 1 \quad (Nghiệm)
\]
- \( x = \pi \):
\[
\cos(\pi) = -1, \quad \sin(\pi) = 0 \Rightarrow 1 = 1 \quad (Nghiệm)
\]
- \( x = 2\pi \):
\[
\cos(2\pi) = 1, \quad \sin(2\pi) = 0 \Rightarrow 1 = 1 \quad (Nghiệm)
\]
- Bạn có thể tiếp tục như vậy cho \( x = 3\pi, 4\pi \).

### Bước 5: Tính tổng nghiệm
Các nghiệm tìm được trên khoảng \( [-\pi, 4\pi] \) là:
- \( x = 0 \)
- \( x = \pi \)
- \( x = 2\pi \)
- \( x = 3\pi \)
- \( x = 4\pi \)

### Tính tổng
\[
S = 0 + \pi + 2\pi + 3\pi + 4\pi = 10\pi
\]

### Kết luận
Tổng các nghiệm của phương trình \( \cos(2x) \cos(x) = 1 + \sin^2(x) \sin(x) \) trên khoảng \( [-\pi, 4\pi] \) là \( 10\pi \).