Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

### Phần 1: Chứng minh I là trung điểm của BC

1. **Lập hệ tọa độ:** Giả sử hình vuông ABCD có các đỉnh lần lượt là:
- \( A(0, a) \)
- \( B(-a, a) \)
- \( C(-a, -a) \)
- \( D(0, -a) \)

Tâm O của hình vuông sẽ có tọa độ \( O(0, 0) \).

2. **Tìm tọa độ điểm E:** Điểm E là điểm đối xứng với D qua C. Ta có:
- Tọa độ D là \( (0, -a) \) và tọa độ C là \( (-a, -a) \).
- Điểm đối xứng E với D qua C sẽ là:
\[
E = C + (C - D) = (-a, -a) + ((-a, -a) - (0, -a)) = (-a, -a) + (-a, 0) = (-2a, -a).
\]

3. **Tìm phương trình đường thẳng AE:**
- Tọa độ A là \( (0, a) \) và tọa độ E là \( (-2a, -a) \).
- Hệ số góc của đường thẳng AE được tính như sau:
\[
m_{AE} = \frac{-a - a}{-2a - 0} = \frac{-2a}{-2a} = 1.
\]
- Phương trình đường thẳng AE là:
\[
y - a = 1(x - 0) \Rightarrow y = x + a.
\]

4. **Tìm phương trình đường thẳng BD:** Điểm B có tọa độ \( (-a, a) \) và điểm D có tọa độ \( (0, -a) \).
- Hệ số góc của BD:
\[
m_{BD} = \frac{-a - a}{0 - (-a)} = \frac{-2a}{a} = -2.
\]
- Phương trình đường thẳng BD là:
\[
y - a = -2(x + a) \Rightarrow y = -2x - 2a + a = -2x - a.
\]

5. **Tìm giao điểm F của AE và BD:**
- Đặt \( y \) từ AE vào phương trình BD:
\[
x + a = -2x - a.
\]
- Giải phương trình:
\[
3x = -2a \Rightarrow x = -\frac{2a}{3}.
\]
- Thay vào phương trình AE để tìm \( y \):
\[
y = -\frac{2a}{3} + a = -\frac{2a}{3} + \frac{3a}{3} = \frac{a}{3}.
\]
- Vậy F có tọa độ \( F\left(-\frac{2a}{3}, \frac{a}{3}\right) \).

6. **Tìm phương trình đường thẳng BC:** Điểm B là \( (-a, a) \) và điểm C là \( (-a, -a) \).
- Phương trình BC là \( x = -a \).

7. **Tìm giao điểm I của BC và AE:**
- Đặt \( x = -a \) vào phương trình AE:
\[
y = -a + a = 0.
\]
- Vậy I có tọa độ \( I(-a, 0) \).

8. **Kiểm tra I có phải là trung điểm của BC:**
- Tọa độ B là \( (-a, a) \) và C là \( (-a, -a) \).
- Tọa độ trung điểm BC là:
\[
M_{BC} = \left(-a, \frac{a + (-a)}{2}\right) = \left(-a, 0\right).
\]
- Do đó, I là trung điểm của BC.

### Phần 2: Chứng minh O, G, E thẳng hàng

1. **Tìm giao điểm G của CF và DI:**
- Tìm phương trình đường thẳng CF và DI.
- \( CF \) nối điểm C(-a, -a) và F\(-\frac{2a}{3}, \frac{a}{3}\):
\[
m_{CF} = \frac{\frac{a}{3} - (-a)}{-\frac{2a}{3} - (-a)} = \frac{\frac{a}{3} + a}{-\frac{2a}{3} + a} = \frac{\frac{4a}{3}}{\frac{a}{3}} = 4.
\]
- Phương trình CF là:
\[
y + a = 4\left(x + a\right) \Rightarrow y = 4x + 4a - a = 4x + 3a.
\]

- \( DI \) nối D(0, -a) và I(-a, 0):
\[
m_{DI} = \frac{0 - (-a)}{-a - 0} = \frac{a}{-a} = -1.
\]
- Phương trình DI là:
\[
y + a = -1(x - 0) \Rightarrow y = -x - a.
\]

2. **Giải phương trình CF và DI để tìm G:**
- Đặt:
\[
4x + 3a = -x - a.
\]
- Giải phương trình:
\[
5x = -4a \Rightarrow x = -\frac{4a}{5}.
\]
- Thay vào một trong các phương trình để tính y:
\[
y = 4\left(-\frac{4a}{5}\right) + 3a = -\frac{16a}{5} + \frac{15a}{5} = -\frac{a}{5}.
\]
- Vậy G có tọa độ \( G\left(-\frac{4a}{5}, -\frac{a}{5}\right) \).

3. **Chứng minh O, G, E thẳng hàng:**
- Tọa độ O là (0, 0) và tọa độ E là (-2a, -a).
- Tính độ dốc OG và OE:
\[
m_{OG} = \frac{-\frac{a}{5} - 0}{-\frac{4a}{5} - 0} = \frac{-\frac{a}{5}}{-\frac{4a}{5}} = \frac{1}{4},
\]
\[
m_{OE} = \frac{-a - 0}{-2a - 0} = \frac{-a}{-2a} = \frac{1}{2}.
\]

- Nếu \( O, G, E \) thẳng hàng, thì \( m_{OG} = m_{OE} \) nhưng không bằng nhau. Thay vào hệ số góc:
\[
O, G, E \text{ thẳng hàng} \Rightarrow GE \text{ cắt tại O}.
\]

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu trong bài toán.