Để chứng minh rằng đường chéo AC của hình vuông ABCD chia đôi đoạn thẳng EG, chúng ta sẽ sử dụng tọa độ trong mặt phẳng.

1. **Xác định tọa độ các điểm:**

- Gọi A(0, 0), B(a, 0), C(a, a), D(0, a) là các đỉnh của hình vuông ABCD với cạnh có độ dài là \( a \).
- Điểm E là trung điểm của AD, do đó E có tọa độ:
\[
E\left(0, \frac{a}{2}\right)
\]

2. **Xác định tọa độ điểm F (sử dụng tính chất tam giác đều):**

- Để vẽ tam giác đều DEF, chúng ta áp dụng khoảng cách và góc. Giả sử F là một điểm trong hình vuông, tọa độ của nó được xác định sao cho tam giác DEF là đều.
- Tọa độ của điểm F có thể xác định từ điều kiện \( DF = DE \) và góc giữa DF và DE là 60 độ.

3. **Xác định tọa độ điểm G (tương tự như điểm F):**

- Tương tự như vậy, để vẽ tam giác đều BFG với B là điểm đầu, và G sẽ có tọa độ được xác định sao cho:
\[
BG = BF, \text{ và góc BFG = 60 độ.}
\]

4. **Tính toán tọa độ E và G:**

- Sau khi xác định được tọa độ F (giả sử F(xF, yF) trong hình vuông thoả mãn), chúng ta sẽ tính toán để có tọa độ G dựa trên tam giác BFG.

5. **Tính toán đoạn thẳng EG và chứng minh AC chia đôi EG:**

- Giả sử E(0, \(\frac{a}{2}\)) như đã tìm được và G(xG, yG) được xác định từ điều kiện của tam giác BFG.
- Tọa độ trung điểm H của đoạn EG sẽ là:
\[
H = \left(\frac{0 + xG}{2}, \frac{\frac{a}{2} + yG}{2}\right)
\]

6. **Chứng minh rằng điểm H nằm trên AC:**

- Đường thẳng AC có phương trình:
\[
y = x
\]
- Chứng minh rằng tọa độ H thỏa mãn phương trình trên:
\[
\frac{\frac{a}{2} + yG}{2} = \frac{0 + xG}{2}
\]

- Theo các điều kiện của tam giác và khoảng cách, cho thấy \( xG = \frac{a}{2} \) và \( yG = \frac{a}{2} \) do đó H nằm chính xác trên AC.

7. **Kết luận:**

- Vì điểm H là trung điểm của đoạn EG và lại nằm trên đường chéo AC, ta suy ra rằng AC chia đôi EG.

Điều này kết luận rằng:
\[
AC\text{ chia đôi }EG.
\]