Để thu gọn biểu thức \( Q = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} - \frac{1}{x - \sqrt{x}} \), trước tiên, chúng ta sẽ đưa về cùng mẫu.

1. **Tìm mẫu chung**:
Mẫu chung của hai phân thức này sẽ là \((\sqrt{x} - 1)(x - \sqrt{x})\).

2. **Biến đổi từng phân thức**:
- Phân thức đầu tiên:
\[
\frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(x - \sqrt{x})} = \frac{x - \sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)(x - \sqrt{x})}
\]
- Phân thức thứ hai:
\[
\frac{-(1)(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(x - \sqrt{x})} = \frac{-\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(x - \sqrt{x})}
\]

3. **Cộng hai phân thức**:
\[
Q = \frac{x - \sqrt{x} - \sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(x - \sqrt{x})} = \frac{x - 2\sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x}-1)(x - \sqrt{x})}
\]

4. **Đưa \( x - 2\sqrt{x} + 1 \) vào dạng bình phương**:
\[
x - 2\sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x} - 1)^2
\]
Vậy, ta có:
\[
Q = \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{(\sqrt{x}-1)(x - \sqrt{x})} = \frac{\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} \quad \text{(với \( \sqrt{x} \neq 1 \))}
\]

5. **Tiếp tục đơn giản hóa**:
Ta có \( x - \sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) \), do vậy:
\[
Q = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 1)} = \frac{1}{\sqrt{x}}
\]

**Kết luận cho câu a)**:
\( Q = \frac{1}{\sqrt{x}} \).

---

**Bước b) Tìm giá trị của \( x \in \mathbb{R} \) sao cho \( x > \frac{1}{9} \) và \( Q \) có giá trị nguyên**:

Ta có:
\[
Q = \frac{1}{\sqrt{x}} \Rightarrow \sqrt{x} = \frac{1}{Q}
\]
Sẽ có:
\[
x = \frac{1}{Q^2}
\]

Để \( x > \frac{1}{9} \), ta có:
\[
\frac{1}{Q^2} > \frac{1}{9} \Rightarrow Q^2 < 9 \Rightarrow |Q| < 3
\]

**Giá trị nguyên của \( Q \)** có thể là \( -2, -1, 0, 1, 2 \).

**Tính giá trị của \( x \)**:
- Nếu \( Q = -2 \): \( x = \frac{1}{(-2)^2} = \frac{1}{4} \)
- Nếu \( Q = -1 \): \( x = 1 \)
- Nếu \( Q = 0 \): \( x \) không xác định.
- Nếu \( Q = 1 \): \( x = 1 \)
- Nếu \( Q = 2 \): \( x = \frac{1}{4} \)

Tóm lại, các giá trị của \( x \) thỏa mãn là \( x = \frac{1}{4} \) và \( x = 1 \), cùng với điều kiện \( Q \) nguyên.