Để giải bài toán trên, ta cần chứng minh từng phần dựa vào các tính chất hình học.

### Giả thiết:
- Tam giác ABC vuông tại A.
- K là điểm bất kỳ thuộc cạnh BC.
- KH ⊥ AC.
- HI = HK (I là điểm trên tia đối của HK).

### Phần a: Chứng minh \( AB \parallel HK \)
1. Ta có KH ⊥ AC (theo giả thiết), suy ra HK cũng vuông góc với AC.
2. Do AB vuông góc với AC, nên AB // HK (theo định lý).

### Phần b: Chứng minh tam giác AKI cân
1. Vì HI = HK và điểm K thuộc BC, suy ra AKI là tam giác cân tại A.
2. Khẳng định rằng AK = AI (theo tính chất của đường cao và đoạn thẳng).

### Phần c: Chứng minh \( \angle BAK = \angle AIK \)
1. Trong tam giác AKI, do AK = AI nên hai góc đối diện BAK và AIK sẽ bằng nhau (theo định lý góc cân).

### Phần d: Chứng minh \( \triangle AIC = \triangle AKC \)
1. Trong hai tam giác AIC và AKC:
- Có BC chung.
- BA = KA (vì góc nhìn từ A là góc vuông tại A).
- IA = IC (do đường cao HK tạo thành).
2. Theo tiêu chí tam giác đồng dạng (góc - cạnh - góc), ta suy ra \( \triangle AIC \cong \triangle AKC \).

Kết luận: Tất cả các phần đều được chứng minh dựa trên các tính chất hình học và mối quan hệ giữa các góc cùng đoạn thẳng.