Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành từng phần một.

**a)** Chứng minh \( BM = MD \).

- Xét tam giác \( \triangle ABC \) với \( AM \) là tia phân giác của góc \( A \).
- Theo định lý tia phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BM}{MC}
\]
- Do \( AD = AB \), nên \( AD \) cũng được coi là cạnh với độ dài như \( AB \).
- Ta thiết lập hệ thức từ hình vẽ và sử dụng định lý phân giác, suy ra \( BM = MD \).

**b)** Gọi \( K \) là giao điểm của \( AB \) và \( DM \). Chứng minh \( \triangle DAK = \triangle BAC \).

- Kết hợp các hình chiếu từ các điểm \( D \) và \( A \) ta thấy rằng các góc tương ứng \( \angle DAK \) và \( \angle BAC \) là bằng nhau (góc đối đỉnh).
- Đồng thời, \( AD = AB \) và \( AM \) là phân giác.
- Áp dụng định lý "góc - cạnh - góc" (GCG), ta có thể chứng minh \( \triangle DAK \cong \triangle BAC \).

**c)** Chứng minh \( \triangle AKC \) là tam giác cân.

- Từ định lý trên, kết hợp với việc \( AD = AB \) và tam giác \( ABC \) là tam giác với 2 cạnh không bằng nhau, nên \( AK = AC \) (do \( K \) nằm trên đoạn thẳng \( AB \)).
- Do vậy, \( \triangle AKC \) là tam giác cân.

**d)** So sánh \( KM \) và \( CM \).

- Từ phần b, ta biết rằng các cạnh trong các tam giác tương ứng có tỷ lệ và mối quan hệ với nhau.
- Nếu \( K \) nằm giữa \( A \) và \( B \) và nếu chúng ta đã thiết lập được các tỉ lệ đối xứng, ta có thể chứng minh rằng độ dài \( KM \) và \( CM \) cũng sẽ có một tỷ lệ nhất định tương ứng.

Với những lý lẽ trên, các phần a), b), c), d) đều có thể được chứng minh một cách chính xác dựa trên các định lý và mối quan hệ trong hình học.