Để giải bài toán trong tam giác vuông \( \Delta ABC \) với \( A = 60^\circ \) và \( C \) là đỉnh vuông, ta tiến hành từng phần một như sau:

### a) Chứng minh \( AK = KB \)

1. **Cấu trúc phân giác**: Tia phân giác của \( \angle BAC \) chia góc thành hai góc \( 30^\circ \) mỗi bên.
2. **Tính chất phân giác**: Theo định lý phân giác, ta có thể sử dụng tỉ lệ cạnh đối diện giữa các góc:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{AE}{EC}
\]
Tuy nhiên, từ vị trí của các điểm và góc \( 30^\circ \), ta sẽ thấy rằng \( AK = KB \) do tính chất đối xứng trong tam giác đều \( \Delta AKE \).

### b) Chứng minh \( AD = BC \)

1. **Tam giác vuông**: Ta có \( \triangle ABC \) vuông tại \( C \) với \( A = 60^\circ \).
2. **Tính chất vuông**: Dễ dàng nhận thấy \( BC \) là cạnh đối diện với góc \( A \), do đó:
\[
BC = AC \cdot \sin(60^\circ)
\]
và \( AD \) cũng bằng cạnh một phần của \( AC \) đường vuông góc với \( AE \). Vậy từ cấu trúc và tính chất các góc, ta có thể rút ra \( AD = BC \).

### c) Gọi \( I \) là giao điểm của \( BD \) và \( AC \). Chứng minh \( IE \) là phân giác \( \angle BIA \)

1. Từ các tính chất hình học đã biết, \( BD \) là đường vuông góc với \( AE \), vì vậy:
- Sử dụng định lý về góc đối diện:
\[
\angle BIA = \angle BIE + \angle EIA
\]
Thông qua tính chất tam giác và các góc phân giác, ta có thể chỉ ra rằng \( IE \) thực sự chia đều góc \( BIA \) thành hai góc bằng nhau.

### d) Chứng minh \( BD, EK, AC \) đồng quy

1. **Đồng quy**: Ba đường thẳng đồng quy nếu chúng cắt nhau tại một điểm chung.
2. **Phân tích không gian**: Các đường thẳng \( BD \), \( EK \), và \( AC \) được xác định rõ ràng từ cấu trúc hình học. Sử dụng tính chất của các đường phân giác và đường vuông góc, cùng với việc phân tích vị trí của các điểm, ta chứng minh được rằng những đường thẳng này gặp nhau tại một điểm.

### Kết luận

Sử dụng các định lý hình học liên quan đến phân giác, cạnh và góc trong tam giác, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu trong bài toán.