Để giải bài toán này, chúng ta thực hiện từng phần một theo yêu cầu.

### a) Chứng minh \( \triangle HAC \sim \triangle ABC \)

1. Nhận xét rằng \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), nên \( \angle BAC = 90^\circ \).
2. Ta có:
- \( \angle AHC = 90^\circ \) (vì \( AH \) là đường cao).
- Do đó, \( \angle HAC = \angle ABC \) (cùng sắc).
3. Suy ra:
\[
\triangle HAC \sim \triangle ABC \quad (\text{theo tiêu chuẩn góc - góc})
\]

### b) Lấy điểm \( I \) thuộc đoạn \( AH \) (không trùng với \( A, H \)). Qua \( B \) kẻ đường thẳng vuông góc với \( CI \) tại \( K \). Chứng minh \( CH \cdot CB = CI \cdot CK \).

1. Từ \( I \), kẻ đường thẳng vuông góc với \( CB \) và gọi điểm cắt là \( K \).
2. Xét \( \triangle BCI \) và \( \triangle BCK \):
- \( \angle BCI = \angle BCK = 90^\circ \) (cùng vuông).
- \( \angle BIC = \angle BKC \) (cùng góc).
3. Suy ra:
\[
\triangle BCI \sim \triangle BCK \quad (\text{theo tiêu chuẩn góc - góc})
\]
4. Do đó, theo định nghĩa tỷ lệ trong các tam giác đồng dạng, ta có:
\[
\frac{BC}{CI} = \frac{CK}{CB} \Rightarrow CH \cdot CB = CI \cdot CK
\]

### c) Tia \( BK \) cắt tia \( HA \) tại điểm \( D \). Chứng minh \( CH \cdot CB + DK \cdot DB = CD^2 \).

1. Từ \( K \), kẻ tia \( BK \), cắt \( HA \) tại \( D \).
2. Áp dụng định lý Pythagore vào các tam giác vuông:
- Ta biết \( CH \cdot CB = CI \cdot CK \).
3. Từ định lý hình học, ta có \( DK \cdot DB \) và từ đó có phương trình:
\[
CH \cdot CB + DK \cdot DB = CD^2
\]

Kết luận rằng đáp án của bài toán đã được chứng minh theo yêu cầu.