a) Chứng minh FA = FB:

Vì EF là đường trung trực của AB nên FA = FB (tính chất đường trung trực).

b) Từ F vẽ FH vuông góc với AC (H thuộc AC). Chứng minh FH vuông góc với EF:

• Vì EF là đường trung trực của AB nên EF vuông góc với AB.
• Ta có: FH vuông góc với AC (gt) và AB vuông góc với AC (tam giác ABC vuông tại A).
• Vậy FH // AB (quan hệ giữa vuông góc và song song).
• Mà EF vuông góc với AB.
• Suy ra FH vuông góc với EF.

c) Chứng minh FH = AE:

• Xét hai tam giác vuông AFH và AEF, ta có:
  • AF chung
  • Góc FAH = Góc FAE (cùng bằng 90 độ)
  • AH = AE (tính chất đường trung trực)
• Suy ra ΔAFH = ΔAEF (cạnh huyền - cạnh góc vuông)
• Do đó FH = AE.

d) Chứng minh EH = BC/2 và EH // BC:

• Ta có: EH = FH + AE = 2AE (vì FH = AE)
• Mà AE = AB/2 (E là trung điểm của AB)
• Suy ra EH = AB.
• Mà AB = BC/2 (vì tam giác ABC vuông cân tại A)
• Vậy EH = BC/2.
• Vì EH // AB (cmt) và AB // BC (cạnh đối của hình chữ nhật ABCE) nên EH // BC.

a) Chứng minh rằng: BE = CD:

• Xét hai tam giác ABE và ACD, ta có:
  • AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
  • Góc A chung
  • AE = AD (gt)
• Suy ra ΔABE = ΔACD (c.g.c)
• Do đó BE = CD.

b) Chứng minh rằng ΔKBD = ΔKCE:

• Ta có: BD = CE (vì BE = CD)
• Góc KBD = Góc KCE (hai góc đối đỉnh)
• BK = CK (do K là giao điểm của BE và CD)
• Suy ra ΔKBD = ΔKCE (c.g.c)

c) AK là tia phân giác của góc A:

• Từ ΔABE = ΔACD (cmt), suy ra góc ABE = góc ACD.
• Mà góc KBD = góc KCE (cmt)
• Nên góc ABK = góc ACK.
• Vậy AK là tia phân giác của góc A.

d) Kéo dài AK cắt BC tại I. Chứng minh rằng AI vuông góc với BC:

• Vì AK là tia phân giác của góc A nên góc BAI = góc CAI.
• Xét hai tam giác ABI và ACI, ta có:
  • AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
  • Góc BAI = Góc CAI (cmt)
  • AI chung
• Suy ra ΔABI = ΔACI (c.g.c)
• Do đó góc AIB = góc AIC.
• Mà góc AIB + góc AIC = 180 độ (hai góc kề bù)
• Nên góc AIB = góc AIC = 90 độ.
• Vậy AI vuông góc với BC.