Để giải bài toán này, ta tiến hành theo từng yêu cầu một.

### a) Tính số đo góc BOC.

Ta có:
- \( \angle AOB = 180^\circ \)
- \( \angle AOC = 50^\circ \)
- \( \angle BOD = 40^\circ \)

Áp dụng tính chất tổng của các góc trong khoảng AOB:

\[
\angle BOC = \angle AOB - \angle AOC - \angle BOD
\]
\[
\angle BOC = 180^\circ - 50^\circ - 40^\circ = 90^\circ
\]

### b) Chứng minh OC vuông góc với OD.

Từ kết quả tính được ở phần a), ta có \( \angle BOC = 90^\circ \). Điều này chứng tỏ rằng OC vuông góc với OD:

\[
OC \perp OD
\]

### c) Gọi OI là tia phân giác của COD, tính số đo của ∠COI.

Vì \( OC \perp OD \) nên \( \angle COD = \angle BOC = 90^\circ \).

Tia OI là tia phân giác của góc COD, do đó ta có:

\[
\angle COI = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2} \times 90^\circ = 45^\circ
\]

### Kết quả:
- a) \( \angle BOC = 90^\circ \)
- b) OC vuông góc với OD.
- c) \( \angle COI = 45^\circ \)