Để phân tích đa thức \(2x^2y + 2x + 4xy + x^2 + 2y + 1\) thành nhân tử, trước tiên, chúng ta sẽ tổ chức lại các hạng tử để tìm ra yếu tố chung.

1. **Tổ chức lại các hạng tử**:
\[
2x^2y + x^2 + 4xy + 2x + 2y + 1
\]
Có thể nhóm lại như sau:
\[
(2x^2y + 4xy) + (x^2 + 2x) + (2y + 1)
\]

2. **Rút gọn từng nhóm**:
- Trong nhóm đầu tiên \(2x^2y + 4xy\), chúng ta rút yếu tố chung \(2xy\):
\[
2xy(x + 2)
\]
- Trong nhóm thứ hai \(x^2 + 2x\), chúng ta rút yếu tố chung \(x\):
\[
x(x + 2)
\]
- Nhóm cuối \(2y + 1\) không có yếu tố chung để rút gọn.

3. **Gom nhóm lại**:
Sau khi rút gọn ta có:
\[
2xy(x + 2) + x(x + 2) + (2y + 1)
\]
Nhận thấy rằng \(x + 2\) là yếu tố chung của 2 hạng tử đầu, chúng ta tổ chức lại:
\[
(2xy + x)(x + 2) + (2y + 1)
\]

4. **Tiếp tục rút gọn**:
Ta tiếp tục phân tích \(2xy + x\) trong nhóm thứ nhất:
\[
x(2y + 1)
\]
Vậy đa thức ban đầu có thể viết lại thành:
\[
x(2y + 1)(x + 2) + (2y + 1)
\]

5. **Nhóm lại**:
Như vậy, chúng ta có thể nhóm \( (2y + 1) \) ra ngoài:
\[
(2y + 1)(x(2y + 1) + 1)
\]

6. **Kết quả cuối cùng**:
Sau các bước trên, đa thức được phân tích thành nhân tử như sau:
\[
(2y + 1)(x^2 + 2x + 1) = (2y + 1)(x + 1)^2
\]

Vậy, kết quả cuối cùng của việc phân tích đa thức \(2x^2y + 2x + 4xy + x^2 + 2y + 1\) thành nhân tử là:
\[
(2y + 1)(x + 1)^2
\]