Để giải bài toán, chúng ta sẽ thực hiện từng yêu cầu một cách tuần tự.

### a. Tính DF và diện tích tam giác ADC

1. **Tính DF:**
- Sử dụng tính chất của tam giác vuông tại A, ta có:
\[
DF = \frac{AF \cdot FC}{AC}
\]
- Trước tiên cần tính \( AC \) với công thức:
\[
AC^2 = AB^2 + BC^2
\]
- Ở đây, không có thông tin về độ dài của \( AB \) và \( BC \), nhưng từ thông tin đã cho:
\( AF = 3.6 \, cm \) và \( FC = 6.4 \, cm \)

2. **Diện tích tam giác ADC:**
- Diện tích \( S_{ADC} = \frac{1}{2} \times AD \times DC \)
- Ta có thể tính \( DC \) bằng:
\[
DC = AC - AF
\]
- Cần tính \( AD \) từ tam giác vuông \( ADF \):
\[
AD = \frac{AF \cdot DF}{AB}
\]

### b. Chứng minh ΔAEF đồng dạng với ΔACB

1. **Cách chứng minh:**
- Ta có hai tam giác \( ΔAEF \) và \( ΔACB \):
- Tỷ lệ các cạnh tương ứng:
\[
\frac{AE}{AC} = \frac{AF}{AB} = \frac{EF}{BC}
\]
- Bằng cách sử dụng định lý Pitago và các tỷ lệ từ hình chiếu, ta có thể chứng minh.

### c. Chứng minh \( \tan^3 C = \frac{BE}{CF} \)

1. **Cách chứng minh:**
- Tính \( BE \) và \( CF \) từ các tam giác tương ứng.
- Sử dụng định nghĩa tang của góc trong tam giác vuông:
\[
\tan C = \frac{DF}{CF}
\]
- Sau đó, lập công thức và chứng minh.

---

Do không có đủ thông tin về kích thước các cạnh khác để tính toán cụ thể, bạn có thể thay các giá trị tương ứng vào các công thức đã đề xuất để tìm ra \( DF \), diện tích, và các hệ quả trong phần b và c.