Để chứng minh các đẳng thức trong tam giác vuông ABC với góc vuông tại A và góc ABC = x, ta sẽ sử dụng các định nghĩa và tính chất của các hàm lượng giác.

1) **Chứng minh \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \)**:
- Bởi định nghĩa, ta có:
\[
\sin x = \frac{a}{c}, \quad \cos x = \frac{b}{c}
\]
Trong đó, a là cạnh đối, b là cạnh kề và c là cạnh huyền.
- Do đó:
\[
\sin^2 x + \cos^2 x = \left(\frac{a}{c}\right)^2 + \left(\frac{b}{c}\right)^2 = \frac{a^2 + b^2}{c^2}
\]
- Theo định lý Pythagoras, \( a^2 + b^2 = c^2 \), vậy:
\[
\sin^2 x + \cos^2 x = \frac{c^2}{c^2} = 1
\]

2) **Chứng minh \( \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} \)**:
- Định nghĩa tan x:
\[
\tan x = \frac{\text{cạnh đối}}{\text{cạnh kề}} = \frac{a}{b}
\]
- Thay vào biểu thức sin và cos:
\[
\tan x = \frac{\frac{a}{c}}{\frac{b}{c}} = \frac{a}{b}
\]

3) **Chứng minh \( \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} \)**:
- Định nghĩa cot:
\[
\cot x = \frac{\text{cạnh kề}}{\text{cạnh đối}} = \frac{b}{a}
\]
- Sử dụng tan:
\[
\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{\cos x}{\sin x}
\]

4) **Chứng minh \( \tan x \cdot \cot x = 1 \)**:
- Theo định nghĩa:
\[
\tan x \cdot \cot x = \frac{a}{b} \cdot \frac{b}{a} = 1
\]

5) **Chứng minh \( \frac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2 x \)**:
- Từ \( \tan^2 x = \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \), ta có:
\[
1 + \tan^2 x = 1 + \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = \frac{1}{\cos^2 x}
\]

6) **Chứng minh \( \frac{1}{\sin^2 x} = 1 + \cot^2 x \)**:
- Tương tự với cot:
\[
\cot^2 x = \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \Rightarrow 1 + \cot^2 x = 1 + \frac{\cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = \frac{1}{\sin^2 x}
\]

Tất cả các đẳng thức đã được chứng minh đúng trong tam giác vuông ABC vuông tại A với góc ABC = x.