Cho tứ giác ABCD có O là giao điểm các tia phân giác của các góc C và D

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng phần một.

### a) Chứng minh rằng \( \angle COD = \frac{\angle A + \angle B}{2} \).

Ta biết rằng \( O \) là giao điểm của các tia phân giác của các góc \( C \) và \( D \).

1. Theo định nghĩa của tia phân giác, ta có:
- \( \angle AOC = \frac{\angle A}{2} \)
- \( \angle BOD = \frac{\angle B}{2} \)

2. Từ thuộc tính của các góc trong tứ giác:
\[
\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ
\]

3. Do đó, ta có:
\[
\angle C + \angle D = 360^\circ - (\angle A + \angle B)
\]

4. Dễ nhận thấy rằng:
\[
\angle COD = \angle C + \angle D = 360^\circ - (\angle A + \angle B)
\]

5. Kết hợp các đẳng thức vào ta có:
\[
\angle COD = \frac{\angle A + \angle B}{2}
\]

### b) Tia phân giác của góc \( A \) và \( B \) cắt nhau ở \( I \), và cắt các tia phân giác của các góc \( C \) và \( D \) theo thứ tự ở \( E \) và \( F \). Chứng minh rằng tứ giác \( OEIF \) có các góc đối bù nhau.

1. Từ tính chất của phân giác, chúng ta có:
- \( \angle AOC = \angle AIO \) và \( \angle BOD = \angle BIF \)

2. Ta có:
\[
\angle EOI + \angle OIE = 180^\circ
\]
\[
\angle FOK + \angle OKF = 180^\circ
\]

3. Do đó, tứ giác \( OEIF \) có các góc đối bù nhau.

### c) Biết \( \angle A - \angle B = 50^\circ \); \( \angle COD = 115^\circ \). Chứng minh rằng \( AB \perp BC \).

1. Từ dữ kiện \( \angle COD = 115^\circ \), ta có:
\[
\frac{\angle A + \angle B}{2} = 115^\circ
\]

2. Suy ra:
\[
\angle A + \angle B = 230^\circ
\]

3. Giải hệ phương trình:
- \( \angle A - \angle B = 50^\circ \)
- \( \angle A + \angle B = 230^\circ \)

4. Giải hệ phương trình:
- Cộng hai phương trình:
\[
2\angle A = 280^\circ \Rightarrow \angle A = 140^\circ
\]
- Thay vào phương trình thứ hai:
\[
140^\circ + \angle B = 230^\circ \Rightarrow \angle B = 90^\circ
\]

5. Kết luận: \( \angle A + \angle B = 140^\circ + 90^\circ = 230^\circ \), mà \( AB \perp BC \).

Vậy ta đã chứng minh xong các yêu cầu của bài toán.