Cho ba số dương a, b, c thỏa mãn. Tính giá trị của biểu thức

Để tính giá trị của biểu thức \( P = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} \), ta sử dụng các điều kiện đã cho.

Theo giả thiết:

1. \( a + b + c = \frac{1}{2} \)
2. \( a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca = \frac{1}{6} \)

Ta bắt đầu bằng việc sử dụng bất đẳng thức Nesbitt, cho thấy rằng:

\[
P \geq \frac{3}{2}
\]

Trong trường hợp này, ta có thể kiểm tra giá trị cụ thể cho \( a, b, c \) để xem nếu các bất đẳng thức đều thỏa mãn và các giá trị cho phép.

Giả sử \( a = b = c = \frac{1}{6} \):

- \( a + b + c = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \)
- \( a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca = 3 \cdot \left( \frac{1}{6} \right)^2 + 3 \cdot \left( \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \right) = 3 \cdot \frac{1}{36} + 3 \cdot \frac{1}{36} = \frac{3}{36} + \frac{3}{36} = \frac{1}{6} \)

Rồi ta thay vào biểu thức \( P \):

\[
P = \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}} + \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}} + \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}} = 3 \cdot \frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{3}} = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2}
\]

Vậy giá trị của biểu thức là:

\[
\boxed{\frac{3}{2}}
\]