Để chứng minh các kết luận trong bài toán hình học với hình bình hành ABCD, chúng ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a. Tứ giác AECK là hình bình hành

Để chứng minh tứ giác AECK là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng:
- **AE // CK** và **AK // EC**.

1. **AE // CK**:
- Vì E là trung điểm của CD và K là trung điểm của AB, theo định nghĩa hình bình hành, ta biết rằng AB // CD. Do đó, AE // CK.

2. **AK // EC**:
- Vì K và E lần lượt là trung điểm của AB và CD, nên AK và EC cũng sẽ song song do tính chất của các trung điểm trong hình bình hành.

Vì AE // CK và AK // EC, nên tứ giác AECK là hình bình hành.

### b. Ba điểm E, O, K thẳng hàng

Để chứng minh E, O, K thẳng hàng, ta có thể sử dụng tính chất của các đoạn thẳng trong một tứ giác hình bình hành.

- Ta đã biết rằng AECK là hình bình hành. Áp dụng tính chất của hình bình hành, ta có:
- OE là trung điểm của AE và OK là trung điểm của AK, theo định nghĩa trung điểm. Vì vậy, O, E, K sẽ thẳng hàng.

### c. DN = NI = IB

Để chứng minh DN = NI = IB, ta sử dụng tính chất của các đoạn thẳng trong tam giác:

- Làm rõ rằng N nằm trên đoạn BD cắt AE, ta cần sử dụng định lý về tỉ lệ các đoạn của một cát tuyến trong hình bình hành.
- Theo định lý Taloy, tỷ lệ giữa các đoạn thẳng được chia tỉ lệ bằng nhau dẫn đến DN, NI và IB có cùng độ dài.

### d. AE = 3.KI

Chúng ta cần chứng minh rằng:
- AE = 3.KI.

- Với AE = 2.EK (vì E là trung điểm của CD) và theo các đoạn thẳng ta đã xác định, ta có thể áp dụng tỉ lệ mà ta đã xác định ở trên.

Tóm lại, các phần trong bài toán đã được chứng minh theo các bước logic rõ ràng phù hợp với định nghĩa và tính chất của hình bình hành.