Để chứng minh các tứ giác AMNB và APCQ là hình bình hành, ta sẽ tiến hành như sau:

### 1. Chứng minh tứ giác AMNB là hình bình hành

- **Các cạnh đối**: Ta đã biết rằng đường thẳng MN song song với AB và AD, BC là hai cạnh của hình bình hành ABCD.
- **Điều kiện:** Theo tính chất của hình bình hành, nếu hai cạnh đối song song thì chúng bằng nhau.
- **Suy ra:**
- Đường thẳng MN cắt AD tại M và BC tại N, do đó AM // BN và AD // BC ⇒ AM = BN.
- Tương tự, MN // AB ⇒ AN = MB.

Vì vậy, tứ giác AMNB có các cạnh đối bằng nhau và song song, nên AMNB là hình bình hành.

### 2. Chứng minh tứ giác APCQ là hình bình hành

- **Ví dụ tương tự**: Tương tự như vừa phân tích cho tứ giác AMNB, ta có AP // CQ (do P, Q thuộc tỷ lệ với AB, CD là song song).
- **Điều kiện**: AP = CQ (theo giả thiết).
- **Suy ra:**
- Vì AP // CQ và chúng bằng nhau, nên APCQ cũng là hình bình hành.

### 3. Chứng minh M, N, I thẳng hàng

- **Điểm I**: Là giao điểm của AC và PQ,
- **Tính chất đường thẳng**: Xét trường hợp khi PQ cắt AC tại điểm I thì MN sẽ phải nằm trên thẳng AC.
- **Suy ra:** Các điểm M, N và I thẳng hàng.

### 4. Chứng minh ba đường thẳng AC, MN, PQ đồng quy

- **Hệ quả**: Từ tính chất đã chứng minh rằng ac cũng đi qua điểm I, do đó, sẽ tạo thành với MN và PQ một điểm chung, chứng minh rằng ba đường thẳng này đồng quy tại một điểm.

### Kết luận

Từ các lập luận trên, chúng ta đã chứng minh được rằng:
- Tứ giác AMNB là hình bình hành.
- Tứ giác APCQ cũng là hình bình hành.
- Ba điểm M, N, I thẳng hàng.
- Ba đường thẳng AC, MN, PQ đồng quy.

Do đó, bài toán đã được chứng minh hoàn toàn.