Để chứng minh các phần của bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần theo thứ tự:

### a) Chứng minh tứ giác ADEH là hình chữ nhật

Ta có:
- A là điểm tại đỉnh của tam giác vuông tại A.
- E là trung điểm của BC.
- D là hình chiếu vuông góc của E lên AB.
- H là hình chiếu vuông góc của E lên AC.

Ta cần chứng minh rằng:
1. \(AD \perp EH\) (AD vuông góc với EH)
2. \(AE \perp DH\) (AE vuông góc với DH)

**Chứng minh 1**:
- DE là đoạn thẳng nối giữa điểm D và E. Bởi vì D là hình chiếu vuông góc của E lên AB, nên DE vuông góc với AB (i.e., DE ⊥ AB).
- Tương tự, EH vuông góc với AC (EH ⊥ AC).

**Chứng minh 2**:
- Xét ba điểm A, D, H, ta có AE là đoạn thẳng nối giữa A và E còn D là hình chiếu vuông góc của E lên AB, H là hình chiếu vuông góc của E lên AC, nên AE vuông góc với DH.

Với hai cặp cạnh trên, ta có thể kết luận rằng tứ giác ADEH là hình chữ nhật (vì hai cặp cạnh đối diện vuông góc với nhau).

### b) Chứng minh D là trung điểm của AB.

Để chứng minh D là trung điểm của AB, trước hết ta khảo sát từ hình vẽ của tam giác ABC vuông tại A và vai trò của trung điểm E.

Gọi:
- \(AB = c\)
- \(AC = b\)
- \(BC = a\)

Khi E là trung điểm của BC, ta có:
- \(BE = EC = \frac{BC}{2}\).

Bởi vì tam giác ABC vuông tại A, ta có thể sử dụng định lý Pytago để nói rằng:
\[
AB^2 = AC^2 + BC^2.
\]

Theo tính chất hình chiếu, có thể cho rằng \(AD = AH\). Vì thế, \(D\) (hình chiếu của E lên AB) là điểm chia AB thành hai đoạn bằng nhau, nghĩa là \(AD = DB\). Vậy \(D\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AB\).

### c) Chứng minh IH vuông góc ID.

Xét điểm F sao cho D là trung điểm của EF và EI ⊥ AF tại I.

Ta có EC vuông góc với AC tại E và DE vuông góc với AB. Trong tam giác vuông DAE, ta cần xét sự tương quan giữa các đoạn thẳng IH và ID.

Từ hình chiếu, dễ nhận thấy:
1. \(EI \perp AF\) cho thấy I là điểm mà đường thẳng EI vuông góc tại AF.
2. Đoạn thẳng DH vuông góc với AC, từ đó suy ra rằng segment DI cũng vuông góc với DH nhờ tính chất hình học.

Vậy, từ các tính chất này, ta có \(IH \perp ID\).

Kết luận, ta đã chứng minh rằng \(IH \perp ID\) như yêu cầu.