Để chứng minh các khẳng định trong bài toán liên quan đến hình vuông ABCD và các điểm M, N, Q, P trên các cạnh của nó, ta sẽ làm theo từng phần một.

**a)** Chứng minh \( MB = NC = PD = QA \).

Trong hình vuông, ta có các cạnh cùng chiều dài. Gọi độ dài cạnh của hình vuông là \( a \). Khi đó:

- \( AM = k \) (với \( k \) là độ dài của đoạn AM)
- \( BN = k \)
- \( CP = k \)
- \( DQ = k \)

Từ đó, ta có:

\[
MB = AB - AM = a - k
\]
\[
NC = BC - BN = a - k
\]
\[
PD = CD - CP = a - k
\]
\[
QA = DA - DQ = a - k
\]

Vì vậy, ta có \( MB = NC = PD = QA = a - k \).

**b)** Chứng minh \( \triangle QAM \cong \triangle NCP \).

Ta cần chứng minh hai tam giác này có các cạnh tương ứng bằng nhau.

1. Cạnh \( QA = DQ \) (do DQ = k).
2. Cạnh \( AM = AM \) (cạnh chung).
3. Cạnh \( MB = NC = a - k \).

Vì vậy, theo tiêu chuẩn cạnh - cạnh - cạnh (CCC) ta có:

\[
\triangle QAM \cong \triangle NCP
\]

**c)** Chứng minh \( MNPQ \) là hình vuông.

Để chứng minh rằng \( MNPQ \) là hình vuông, ta cần chứng minh rằng:

1. Tất cả các cạnh đều bằng nhau.
2. Các góc vuông.

- Do từ kết quả từ phần a), ta suy ra rằng \( MB = NC = PD = QA = a - k \).
- Tiếp theo, xét góc tại các điểm \( M, N, P, Q \):
- Tại M, góc \( AMB = 90^\circ \) (do ABCD là hình vuông),
- Tại N, góc \( BNC = 90^\circ \),
- Tại P, góc \( CPD = 90^\circ \),
- Tại Q, góc \( DQA = 90^\circ \).

Vì tất cả các góc ở các điểm đều bằng \( 90^\circ \) và các cạnh đều bằng nhau, suy ra \( MNPQ \) là hình vuông.

Vậy ta đã chứng minh xong cả ba khẳng định của bài toán.