Trong 1 nhóm gồm 2n+1 người, với mỗi n người thì tồn tại 1 người trong 2n+1 người này quen n người đó

Ta sẽ chứng minh hai khẳng định a và b trong bài toán này bằng phương pháp quy nạp.

### Khẳng định a: Có n+1 người đôi một quen nhau.

**Bước cơ sở (n = 1):**
Khi n = 1, nhóm có 2n + 1 = 3 người. Ta có thể không chỉ ra cụ thể các mối quan hệ, nhưng theo giả thiết, với mỗi cặp 1 người thì có ít nhất 1 người trong 3 người quen cả hai. Suy ra, ít nhất 2 người trong 3 người quen nhau. Ta có thể chọn 2 trong 3 người và từ đó suy ra rằng ít nhất có 2 người quen nhau. Điều này đúng.

**Bước quy nạp:**
Giả sử khẳng định a đúng với n = k, tức là với 2k + 1 người, có k + 1 người đôi một quen nhau.

Ta chứng minh với n = k + 1, tức là với 2(k + 1) + 1 = 2k + 3 người. Gọi tập hợp 2k + 3 người này là A.

Giả sử một người trong A được chọn là \( x \). Theo giả thiết, \( x \) quen với n người trong phần còn lại (t tức là 2k + 2 người). Theo định nghĩa, trong 2k + 2 người, sẽ luôn có ít nhất một người quen với n người đó (điều này đúng theo giả thiết).

Ta có hai trường hợp có thể xảy ra:

1. **Trường hợp 1:** Có ít nhất k + 1 người trong số 2k + 2 người quen nhau. Rõ ràng, khẳng định a đúng cho n = k + 1 trong trường hợp này.

2. **Trường hợp 2:** Không tồn tại k + 1 người trong nhóm 2k + 2 người này quen nhau. Điều này đồng nghĩa với việc mỗi người chỉ quen với tối đa k người. Nhưng mỗi người trong số 2k + 2 người đang quen 1 người nào đó trong 2k + 3 người. Theo giả thiết, ít nhất một người trong 2k + 3 người sẽ quen với tất cả họ, điều này mâu thuẫn với giả thiết ban đầu.

Do đó, ít nhất có n + 1 người đôi một quen nhau trong mỗi trường hợp.

Ta đã hoàn tất bước quy nạp và khẳng định a đúng.

### Khẳng định b: Tồn tại 1 người quen hết tất cả các người.

**Bước quy nạp:**
Khi n = 1, 2n + 1 = 3. Trong ba người, luôn tồn tại một người quen hết, điều này tương tự như minh chứng cho khẳng định a.

Với n = k, giả sử tồn tại một người quen hết tất cả các người (n + 1 người) cho trường hợp này.

Tương tự như trên, khi ta tăng thêm n, người bạn đó có mặt trong nhóm này. Do đó, một người trong nhóm 2k + 3 sẽ quen hết tất cả mọi người trong nhóm 2k + 2.

Như vậy, khi ta tăng n, khẳng định b vẫn giữ đúng.

Vì vậy, từ ví dụ ban đầu đến các trường hợp tăng dần, ta thấy khẳng định b cũng đúng cho n = k + 1.

Như vậy, ta suy ra cả hai khẳng định đã được chứng minh.

### Kết luận
a. Có n + 1 người đôi một quen nhau.
b. Tồn tại một người quen hết tất cả các người trong nhóm.