Để chứng minh rằng \(\triangle ABD = \triangle AED\), ta sẽ sử dụng những thông tin đã cho và một số tính chất của tam giác và tia phân giác.

### Bước 1: Sử dụng thông tin từ đề bài

1. **Cho tam giác ABC** với \(AB < AC\).
2. **Tia phân giác AD** cắt cạnh \(BC\) tại điểm \(D\).
3. **Điểm E** trên cạnh \(AC\) sao cho \(AE = AB\).

### Bước 2: Thiết lập các cặp cạnh và góc

Xét hai tam giác \(\triangle ABD\) và \(\triangle AED\):

- Cạnh \(AB = AE\) (bởi vì ta đã chọn \(E\) sao cho \(AE = AB\)).
- Cạnh \(AD\) là chung cho cả hai tam giác.
- Góc \( \angle ABD = \angle AED\) (do \(AD\) là tia phân giác).

### Bước 3: Áp dụng tiêu chí đồng dạng

Từ những thông tin trên, ta có hai tam giác \(\triangle ABD\) và \(\triangle AED\) có:

- \(AB = AE\)
- \(AD = AD\) (chung)
- \(\angle ABD = \angle AED\)

Theo tiêu chí \(\text{cạnh - cạnh - góc}\) (c.c.g) hay tiêu chí \(\text{cạnh - góc - cạnh}\) (c.g.c) chúng ta có thể kết luận:

\[
\triangle ABD \cong \triangle AED
\]

### Kết luận
Do đó, \( \triangle ABD \equiv \triangle AED\) như yêu cầu. Ta đã chứng minh xong!