Để chứng minh các kết luận trong bài toán này, ta sẽ lần lượt đi qua từng phần.

**Giả thiết:** Cho hình vuông \(ABCD\) có các điểm \(M, N, P, Q\) lần lượt nằm trên các cạnh \(AB, BC, CD, DA\) sao cho \(AM = BN = CP = DQ = x\).

### A) Chứng minh \(MB = NC = PD = QA\)

1. **Xét cạnh \(AB\)**:
- Ta có \(M\) là điểm trên \(AB\) sao cho \(AM = x\).
- Từ đó, \(MB = AB - AM = a - x\), trong đó \(a\) là độ dài cạnh của hình vuông.

2. **Xét cạnh \(BC\)**:
- Tương tự, với \(N\) là điểm trên \(BC\) sao cho \(BN = x\),
- Ta có \(NC = BC - BN = a - x\).

3. **Xét cạnh \(CD\)**:
- Đối với \(P\), ta cũng có \(CP = x\) và do đó \(PD = CD - CP = a - x\).

4. **Xét cạnh \(DA\)**:
- Cuối cùng, với \(Q\) trên \(DA\) và \(DQ = x\),
- Suy ra \(QA = DA - DQ = a - x\).

Kết luận: Từ những điều trên, chúng ta có \(MB = NC = PD = QA = a - x\).

### B) Chứng minh \( \triangle QAM \cong \triangle NCP \)

1. **Xét tam giác \( \triangle QAM \)**:
- \(AQ = DQ = x\) (theo giả thiết).
- \(AM = x\) (theo giả thiết).
- Góc \( \angle QAM = 90^\circ\) (vì \(ABCD\) là hình vuông).

2. **Xét tam giác \( \triangle NCP \)**:
- \(CN = BN = x\) (theo giả thiết).
- \(CP = x\) (theo giả thiết).
- Góc \( \angle NCP = 90^\circ\) (vì \(ABCD\) là hình vuông).

3. **Dùng tiêu chuẩn \( \text{Cạnh-Cạnh-Cạnh} (CCC) \)**:
- Ta có:
- \(AQ = CN = x\),
- \(AM = CP = x\),
- \( \angle QAM = \angle NCP = 90^\circ\).

Vậy, \( \triangle QAM \cong \triangle NCP\).

### C) Chứng minh \(MNPQ\) là hình vuông

1. **Xét độ dài các cạnh**:
- Theo phần A, chúng ta biết \(MB = NC = PD = QA = a - x\).
- Do đó, \(MN = MB\), \(NP = NC\), \(PQ = PD\), và \(QM = QA\). Tất cả các cạnh này đều bằng nhau.

2. **Xét các góc**:
- Như đã chứng minh, \( \angle QAM = 90^\circ\) và \( \angle NCP = 90^\circ\).
- Do \( \triangle QAM \cong \triangle NCP\) và các tam giác này được xây dựng ở những vị trí vuông góc, ta có thông tin về các góc của hình chữ nhật \(MNPQ\) đều bằng \(90^\circ\).

Kết luận: Vì \(MNPQ\) có bốn cạnh bằng nhau và bốn góc vuông, nên \(MNPQ\) là hình vuông.

Do đó, ta đã chứng minh được cả ba phần a), b) và c).