Để tìm số tự nhiên \(n\) sao cho \(A = n^{2012} + n^{2002} + 1\) là số nguyên tố, chúng ta sẽ thử với các giá trị nhỏ của \(n\):

1. **Khi \(n = 1\)**:
\[
A = 1^{2012} + 1^{2002} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 \quad \text{(số nguyên tố)}
\]

2. **Khi \(n = 2\)**:
\[
A = 2^{2012} + 2^{2002} + 1
\]
Rất lớn, nhưng có thể kiểm tra tính chất của biểu thức. Ta sẽ nhận thấy rằng \(A\) sẽ không phải số nguyên tố khi \(n \geq 2\).

3. **Khi \(n = 3\)** hoặc lớn hơn:
\[
n^{2012}, n^{2002} \text{ đều rất lớn, và A sẽ không thể là một số nguyên tố.}
\]

Từ các thử nghiệm trên, ta thấy chỉ có \(n = 1\) tạo ra số nguyên tố. Do đó, số tự nhiên \(n\) thỏa mãn yêu cầu trên là:

\[
\boxed{1}
\]