Một mẫu than lấy từ hàng động của người Pôlinêxian cổ tại Ha Oai có tốc độ 13,6 phân hủy ¹⁴C trong 1 giây tính với 1,0 gam carbon. Biết trong 1,0 gam carbon đang tồn tại có 15,3 phân hủy ¹⁴C trong 1 giây và chu kỳ bán hủy của ¹⁴C là 5730 năm. Hãy cho biết niên đại của mẫu than đó?

Để tính niên đại của mẫu than, ta có thể sử dụng phương pháp niên đại bằng carbon-14 (¹⁴C). Công thức tính tuổi của mẫu dựa trên tỷ lệ giữa phân hủy hiện tại và phân hủy ban đầu là:

\[
N(t) = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{t_{1/2}}}
\]

Trong đó:
- \(N(t)\) là số phân hủy hiện tại (13,6 phân hủy trong 1 giây).
- \(N_0\) là số phân hủy ban đầu (15,3 phân hủy trong 1 giây).
- \(t_{1/2}\) là chu kỳ bán hủy (5730 năm).
- \(t\) là thời gian cần tính.

Bước 1: Tính tỷ lệ phần trăm của ¹⁴C còn lại.

\[
\text{Tỷ lệ còn lại} = \frac{N(t)}{N_0} = \frac{13,6}{15,3} \approx 0,8895
\]

Bước 2: Áp dụng tỷ lệ này trong phương trình:

\[
0,8895 = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{t}{5730}}
\]

Bước 3: Lấy logarit tự nhiên hai bên:

\[
\ln(0,8895) = \frac{t}{5730} \ln\left(\frac{1}{2}\right)
\]

Bước 4: Giải cho \(t\):

\[
t = 5730 \cdot \frac{\ln(0,8895)}{\ln(0,5)}
\]

Sử dụng giá trị:

\(\ln(0,8895) \approx -0,1167\) và \(\ln(0,5) \approx -0,6931\):

\[
t = 5730 \cdot \frac{-0,1167}{-0,6931} \approx 5730 \cdot 0,168
\]
\[
t \approx 963 \text{ năm}
\]

Vậy, niên đại của mẫu than đó khoảng 963 năm.