Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm lần lượt từng phần.

**Phần a: Giải phương trình**

Phương trình đã cho là:

\[
\frac{x + 1 + x + 2 + x + 3}{x + 4} = 4x
\]

Đầu tiên, chúng ta đơn giản hóa biểu thức trong tử số:

\[
\frac{3x + 6}{x + 4} = 4x
\]

Nhân chéo hai vế:

\[
3x + 6 = 4x(x + 4)
\]

Sắp xếp lại:

\[
3x + 6 = 4x^2 + 16x
\]

Chuyển các hạng tử về một bên:

\[
4x^2 + 16x - 3x - 6 = 0
\]

Công thức trở thành:

\[
4x^2 + 13x - 6 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\):

\[
a = 4, b = 13, c = -6
\]

Tính discriminant:

\[
b^2 - 4ac = 13^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-6) = 169 + 96 = 265
\]

Tính nghiệm:

\[
x = \frac{-13 \pm \sqrt{265}}{8}
\]

**Phần b: Giải phương trình khác với \( x_1, x_2 \in \mathbb{Z}\)**

Cần tìm \( x_1, x_2 \) thỏa:

\[
x_1 - \frac{3}{2}x_2 = 1
\]

Từ đây, ta có thể biểu diễn \( x_1 \) theo \( x_2 \):

\[
x_1 = \frac{3}{2}x_2 + 1
\]

Sau đó, bạn có thể thử với các giá trị nguyên của \( x_2 \) để tìm kiếm nghiệm thoả mãn. Ví dụ:

- Nếu \( x_2 = 0 \), thì \( x_1 = 1 \).
- Nếu \( x_2 = 2 \), thì \( x_1 = 4 \).

Tìm nghiệm tương ứng với điều kiện ban đầu là bạn sẽ có cặp số nguyên.

Nếu cần thêm trợ giúp hoặc giải thích cụ thể hơn, hãy cho biết!