Để phân tích đa thức \(x^2 + 2x + 3\) thành nhân tử, ta cần xét dấu của hệ số và định tính của các hệ số trong đa thức này.

Đa thức \(x^2 + 2x + 3\) có dạng tổng quát là \(ax^2 + bx + c\) với \(a = 1\), \(b = 2\) và \(c = 3\).

Trước tiên, chúng ta kiểm tra Delta (\(\Delta\)) của đa thức này để xem nó có thể phân tích thành nhân tử không:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8
\]

Vì \(\Delta < 0\), đa thức \(x^2 + 2x + 3\) không có nghiệm thực và do đó không thể phân tích thành nhân tử trong tập hợp các số thực.

Nếu muốn phân tích nó trong tập hợp các số phức, ta có thể tìm nghiệm phức của đa thức này bằng cách sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}
\]

Trong trường hợp này:

\[
x = \frac{-2 \pm \sqrt{-8}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 2i\sqrt{2}}{2} = -1 \pm i\sqrt{2}
\]

Vậy ta có 2 nghiệm phức là \(x_1 = -1 + i\sqrt{2}\) và \(x_2 = -1 - i\sqrt{2}\).

Đa thức \(x^2 + 2x + 3\) có thể được viết lại thành:

\[
(x - (-1 + i\sqrt{2}))(x - (-1 - i\sqrt{2})) = (x + 1 - i\sqrt{2})(x + 1 + i\sqrt{2})
\]

Vậy nên, phân tích của đa thức này trong số phức là:

\[
x^2 + 2x + 3 = (x + 1 - i\sqrt{2})(x + 1 + i\sqrt{2})
\]

Còn nếu chỉ làm việc trong tập hợp các số thực, \(x^2 + 2x + 3\) không thể phân tích thành nhân tử.