Để chứng minh rằng trung tuyến AM đi qua trung điểm của EF, ta có thể thực hiện theo các bước sau:

1. **Đặt điểm**: Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Bằng cách chọn tọa độ cho các điểm:
- A(0, a)
- B(-b, 0)
- C(c, 0)
Như vậy, M sẽ có tọa độ:
\[
M = \left(\frac{-b + c}{2}, 0\right)
\]

2. **Xác định phương trình của đường thẳng EF**:
- Vì đường thẳng EF song song với BC (trong trường hợp này là trục hoành), EF sẽ có dạng y = k (với k là hằng số).

3. **Tìm tọa độ của E và F**:
- Giả sử y = k, thì tọa độ E và F có thể được xác định bằng cách thay k vào phương trình của AB và AC.

4. **Tính toán trung điểm của EF**:
- Gọi tọa độ của E là \( E(x_E, k) \) và F là \( F(x_F, k) \). Trung điểm của EF sẽ có tọa độ:
\[
D = \left(\frac{x_E + x_F}{2}, k\right)
\]

5. **Chứng minh rằng AM đi qua D**:
- Ta cần chỉ ra rằng D là trên đường thẳng AM. Phương trình đường thẳng AM sẽ được tính từ điểm A và M.

6. **Kiểm tra tọa độ**:
- Khi tìm ra tọa độ của E và F thông qua các phương trình, ta có thể thế vào và kiểm tra xem \( k \) và giá trị x có thỏa mãn phương trình của AM hay không.

Kết luận, nếu D thỏa mãn phương trình của AM, thì ta đã chứng minh được AM đi qua trung điểm của EF. Từ đó, kết luận rằng trung tuyến AM cắt EF tại trung điểm của nó.