### Câu 47: Giải bài toán

**a)** Chứng minh tam giác ANC đồng dạng với tam giác AMB.

- Ta có tam giác ABC cân tại A, nên \( AC = AB \).

- BM là tia phân giác của góc A, suy ra theo định lý tia phân giác, ta có:

\[
\frac{AN}{AB} = \frac{AC}{BC}
\]

- Do đó, theo tính chất tương ứng các cạnh theo tỉ lệ, ta có:

\[
\frac{AN}{AC} = \frac{AM}{AB}
\]

Suy ra, tam giác ANC và tam giác AMB đồng dạng với nhau (cùng có góc A và tỉ số tương ứng các cạnh).

**b)** Chứng minh \(\frac{AN}{NB} = \frac{AC}{CB}\).

- Từ kết quả ở phần a), ta có:
\[
\frac{AN}{AC} = \frac{AB}{AM}
\]

- Thay \(AB = AC\) do tam giác ABC là tam giác cân, ta được:
\[
\frac{AN}{AC} = \frac{AM}{AB}
\]

- Vậy:
\[
\frac{AN}{AB - AN} = \frac{AC}{CB}
\]
Nên:
\[
\frac{AN}{NB} = \frac{AC}{CB}
\]

**c)** Kẻ đường cao AH của tam giác ABC cắt NM tại K. Tính tỉ số diện tích của tam giác ANM và tam giác ABC, biết \(AH = 5\) cm, \(AK = 2\) cm.

- Gọi \(S_{ANM}\) là diện tích tam giác ANM và \(S_{ABC}\) là diện tích tam giác ABC.

- Ta biết diện tích tam giác có công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot \text{base} \cdot \text{height}
\]

- Do \(H\) là chiều cao của tam giác ABC, tỉ số diện tích của hai tam giác là:

\[
\frac{S_{ANM}}{S_{ABC}} = \frac{AN \cdot AK}{AC \cdot AH}
\]

- Từ đề bài \(AK = 2\) cm và \(AH = 5\) cm, tỉ số này giảm thành:
\[
\frac{S_{ANM}}{S_{ABC}} = \frac{AN \cdot 2}{AC \cdot 5} = \frac{2AN}{5 \cdot AC}
\]

Tuỳ thuộc vào giá trị của AN và AC, bạn có thể tính thêm được kết quả cụ thể trong trường hợp biết giá trị của AN hoặc AC.