Để tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của hàm số \( y = \sin x + \cos x \), ta có thể sử dụng một số phương pháp khác nhau, trong đó phương pháp sử dụng định lý về bất đẳng thức Cauchy hoặc chuyển đổi hàm số là những cách hữu ích.

### Phương pháp 1: Sử dụng bất đẳng thức

Đầu tiên, ta có thể viết lại hàm số:
\[
y = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \left( \frac{\sin x}{\sqrt{2}} + \frac{\cos x}{\sqrt{2}} \right)
\]
Ta nhận thấy rằng \( \frac{\sin x}{\sqrt{2}} + \frac{\cos x}{\sqrt{2}} \) có thể được coi như là hàm sin của một góc, cụ thể là:
\[
y = \sqrt{2} \sin \left( x + \frac{\pi}{4} \right)
\]
Đối với sin, giá trị lớn nhất là 1 và giá trị nhỏ nhất là -1. Do đó:
\[
-\sqrt{2} \leq y \leq \sqrt{2}
\]

### Kết quả
- Giá trị lớn nhất (GTLN): \( \sqrt{2} \)
- Giá trị nhỏ nhất (GTNN): \( -\sqrt{2} \)

### Phương pháp 2: Sử dụng đạo hàm
Ta cũng có thể tính đạo hàm của hàm số để xác định các cực trị. Đạo hàm là:
\[
y' = \cos x - \sin x
\]
Giải \( y' = 0 \) để tìm các giá trị của \( x \) trong khoảng (0, 2π) và từ đó tìm ra giá trị của hàm tương ứng.

Dựa vào hai phương pháp này, ta có thể khẳng định rằng GTLN của hàm số là \( \sqrt{2} \) và GTNN là \( -\sqrt{2} \).