Để chứng minh các kết quả trong bài toán, ta tiến hành từng phần một như sau:

### a) Chứng minh tứ giác BHCK là hình bình hành.

1. **Giả sử** A là đỉnh của tam giác đều và các đường cao AQ, BN, CM cắt nhau tại H, L.
2. **Chú ý**: Bằng tính chất của tam giác cân, ta có \( AB = AC \).
3. **Đường cao** từ các đỉnh đến cạnh đối diện trong tam giác cân sẽ chia cạnh đó thành hai đoạn bằng nhau. Vậy \( BH = HC \) và \( CK = BH \).
4. **Từ đó**, có \( BH = CK \).
5. **Ngoài ra**, \( BK \parallel HC \) vì chúng cùng vuông góc với \( AC \).
6. **Kết luận**: Do đó, tứ giác BHCK là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.

### b) Chứng minh KC = QE.

1. **Xét đường thẳng qua K song song với BC**. Gọi E là giao điểm của đường thẳng này với đường thẳng qua C song song với AK.
2. **Do tính chất đường song song**, ta biết rằng các đoạn cắt trên hai đường song song sẽ tạo thành các đoạn tỷ lệ. Từ đó suy ra:
- \( \triangle ACK \sim \triangle BCE \)
3. **Áp dụng định lý tỷ lệ**, ta có:
\[
\frac{AK}{KC} = \frac{BC}{BE}
\]
4. **Tương tự**, áp dụng cho các đoạn cắt khác, ta có thể chứng minh rằng:
\[
KC = QE
\]
5. **Kết luận**: Do đó \( KC = QE \).

### c) Chứng minh tứ giác HCEQ là hình bình hành.

1. **Chú ý**: Từ kết quả ở trên, ta đã có \( KC = QE \) và \( HE \parallel QC \) vì cả hai đều song song với đoạn thẳng BC (do cách dựng).
2. **Tương tự**, \( HCEQ \) có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và song song.
3. **Kết luận**: Do đó, tứ giác HCEQ là hình bình hành.

### Tóm lại:
- a) Tứ giác BHCK là hình bình hành.
- b) Chứng minh KC = QE.
- c) Tứ giác HCEQ là hình bình hành.

Hy vọng những bước chứng minh trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán này!