Dưới đây là hướng dẫn giải cho bài toán trên:

**a)** Tứ giác AMHN là hình gì? Tại sao?

Tứ giác AMHN là hình chữ nhật. Bởi vì:
- MH vuông góc với AB (tính chất đường cao AH).
- HN vuông góc với AC (tính chất đường cao AH).
- Do đó, cả hai cặp cạnh AM và NH, MH và AN đều vuông góc với nhau.

**b)** Chứng minh tứ giác AHKC là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác AHKC là hình bình hành, ta cần chứng minh hai cặp cạnh đối diện (AH và KC) bằng nhau:
- A là đỉnh vuông của tam giác vuông ABC, do đó AH sản sinh ra hai cặp đoạn thẳng bằng nhau từ các góc vuông.
- H là trung điểm của đoạn thẳng AC, nên AH = HC.
- Kiểm tra các tính chất về độ dài và góc giữa các cạnh thì có thể kết luận rằng tứ giác AHKC là hình bình hành.

**c)** Chứng minh MN cắt AH tại O, CO cắt AK tại G.

Có thể sử dụng các tính chất đồng dạng hoặc sự tiếp xúc của các đường cao và các đoạn thẳng để chứng minh hai đường thẳng này cắt nhau tại các điểm đã cho.

**Chứng minh AK = 3AG:**
1. Sử dụng tỷ lệ giữa các đoạn thẳng trong tam giác và các tính chất tương ứng của hình bình hành AHKC.
2. Từ các tính chất của tam giác ABH, ACN và tỷ lệ giữa các cạnh, có thể rút ra được AK = 3AG.

Hy vọng những hướng dẫn trên giúp bạn giải bài toán này!