Để tính biểu thức \( A = \sqrt{x^2 + 6x + 9} + \sqrt{x^2 - 4x + 4} \), ta thực hiện như sau:

1. Rút gọn từng căn:
- \( \sqrt{x^2 + 6x + 9} = \sqrt{(x + 3)^2} = |x + 3| \)
- \( \sqrt{x^2 - 4x + 4} = \sqrt{(x - 2)^2} = |x - 2| \)

Vậy nên:
\[
A = |x + 3| + |x - 2|
\]

2. Tìm các trường hợp cho trị tuyệt đối:
- **Trường hợp 1**: \( x < -3 \) \( \Rightarrow A = -(x + 3) - (x - 2) = -2x - 1 \)
- **Trường hợp 2**: \( -3 \leq x < 2 \) \( \Rightarrow A = (x + 3) - (x - 2) = 5 \)
- **Trường hợp 3**: \( x \geq 2 \) \( \Rightarrow A = (x + 3) + (x - 2) = 2x + 1 \)

3. Xác định giá trị nhỏ nhất của \( A \):
- Trường hợp 1: \( A \) giảm khi \( x \) nhỏ hơn -3.
- Trường hợp 2: \( A = 5 \) cho \( -3 \leq x < 2 \).
- Trường hợp 3: \( A \) tăng khi \( x \) lớn hơn 2.

Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là 5 trong khoảng \( -3 \leq x < 2 \).

4. Tính tổng các giá trị nguyên của \( x \):
- Các giá trị nguyên trong khoảng \( -3 \leq x < 2 \) là: \( -3, -2, -1, 0, 1 \).
- Tổng S:
\[
S = -3 + -2 + -1 + 0 + 1 = -5
\]

Kết quả cuối cùng là \( S = -5 \).